Difference between revisions of "User:Jon Awbrey/TABLE"

MyWikiBiz, Author Your Legacy — Friday November 29, 2024
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−
==Differential Logic==
+
==Cactus Language==
  
 
===Ascii Tables===
 
===Ascii Tables===
  
 +
{| align="center" cellpadding="6" style="text-align:center; width:90%"
 +
|
 +
<pre>
 +
o-------------------o
 +
|                  |
 +
|        @        |
 +
|                  |
 +
o-------------------o
 +
|                  |
 +
|        o        |
 +
|        |        |
 +
|        @        |
 +
|                  |
 +
o-------------------o
 +
|                  |
 +
|        a        |
 +
|        @        |
 +
|                  |
 +
o-------------------o
 +
|                  |
 +
|        a        |
 +
|        o        |
 +
|        |        |
 +
|        @        |
 +
|                  |
 +
o-------------------o
 +
|                  |
 +
|      a b c      |
 +
|        @        |
 +
|                  |
 +
o-------------------o
 +
|                  |
 +
|      a b c      |
 +
|      o o o      |
 +
|        \|/        |
 +
|        o        |
 +
|        |        |
 +
|        @        |
 +
|                  |
 +
o-------------------o
 +
|                  |
 +
|        a  b    |
 +
|        o---o    |
 +
|        |        |
 +
|        @        |
 +
|                  |
 +
o-------------------o
 +
|                  |
 +
|      a  b      |
 +
|      o---o      |
 +
|        \ /        |
 +
|        @        |
 +
|                  |
 +
o-------------------o
 +
|                  |
 +
|      a  b      |
 +
|      o---o      |
 +
|        \ /        |
 +
|        o        |
 +
|        |        |
 +
|        @        |
 +
|                  |
 +
o-------------------o
 +
|                  |
 +
|      a  b  c      |
 +
|      o--o--o      |
 +
|      \  /      |
 +
|        \ /        |
 +
|        @        |
 +
|                  |
 +
o-------------------o
 +
|                  |
 +
|      a  b  c      |
 +
|      o  o  o      |
 +
|      |  |  |      |
 +
|      o--o--o      |
 +
|      \  /      |
 +
|        \ /        |
 +
|        @        |
 +
|                  |
 +
o-------------------o
 +
|                  |
 +
|        b  c      |
 +
|        o  o      |
 +
|      a  |  |      |
 +
|      o--o--o      |
 +
|      \  /      |
 +
|        \ /        |
 +
|        @        |
 +
|                  |
 +
o-------------------o
 +
</pre>
 +
|}
 +
 +
{| align="center" cellpadding="6" style="text-align:center; width:90%"
 +
|
 
<pre>
 
<pre>
−
Table A1.  Propositional Forms On Two Variables
+
Table 13.  The Existential Interpretation
−
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
+
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
−
| L_1    | L_2    | L_3    | L_4      | L_5              | L_6      |
+
| Ex |  Cactus Graph    | Cactus Expression |    Existential    |
−
|        |        |        |         |                 |         |
+
|    |                  |                  |  Interpretation  |
−
| Decimal | Binary  | Vector  | Cactus  | English          | Ordinary |
+
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
−
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
+
|   |                  |                  |                  |
−
|        |       x : 1 1 0 0 |         |                 |         |
+
|  1 |        @        |        " "        |      true.      |
−
|        |      y : 1 0 1 0 |         |                 |         |
+
|    |                  |                  |                  |
−
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
+
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
−
|         |         |         |         |                 |         |
+
|   |                   |                   |                   |
−
| f_0    | f_0000  | 0 0 0 0 |    ()   | false            |   0    |
+
|    |        o        |                  |                  |
−
|         |        |        |         |                  |         |
+
|    |        |        |                   |                   |
−
| f_1    | f_0001 | 0 0 0 1 | (x)(y) | neither x nor y  | ~x & ~y  |
+
| 2 |        @        |        ( )        |     untrue.      |
−
|         |         |         |         |                 |         |
+
|   |                   |                   |                   |
−
| f_2    | f_0010  | 0 0 1 0 | (x) y   | y and not x      | ~x &  y  |
+
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
−
|         |        |         |         |                  |          |
+
|    |                  |                  |                  |
−
| f_3    | f_0011  | 0 0 1 1 |  (x)     | not x            | ~x      |
+
|    |        a        |                  |                  |
−
|         |        |        |         |                  |         |
+
|  3 |        @        |        a        |        a.        |
−
| f_4    | f_0100 | 0 1 0 0 |   x (y) | x and not y     | x & ~y  |
+
|    |                  |                  |                  |
−
|         |         |         |         |                 |         |
+
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
−
| f_5    | f_0101  | 0 1 0 1 |     (y)  | not y            |     ~y  |
+
|    |                  |                  |                  |
−
|         |         |         |         |                 |         |
+
|    |        a        |                  |                  |
−
| f_6    | f_0110 | 0 1 1 0 | (x, y) | x not equal to y | x +  y  |
+
|    |         o         |                   |                  |
−
|         |         |         |         |                 |         |
+
|    |        |         |                   |                   |
−
| f_7    | f_0111  | 0 1 1 1 | (x  y)  | not both x and y | ~x v ~y  |
+
|  4 |         @         |        (a)        |      not a.      |
−
|         |         |         |         |                 |         |
+
|    |                   |                   |                   |
−
| f_8    | f_1000  | 1 0 0 0 |   x  y  | x and y          | x & y  |
+
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
−
|         |        |        |         |                  |         |
+
|    |                  |                  |                  |
−
| f_9    | f_1001 | 1 0 0 1 | ((x, y)) | x equal to y    | x =  y  |
+
|    |      a b c      |                  |                  |
−
|         |         |         |         |                 |         |
+
|  5 |        @        |      a b c      |  a and b and c.  |
−
| f_10   | f_1010 | 1 0 1 0 |      y   | y                |       y |
+
|    |                  |                  |                  |
−
|        |         |         |         |                 |         |
+
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
−
| f_11   | f_1011  | 1 0 1 1 | (x (y)) | not x without y  |  x => y |
+
|   |                  |                  |                  |
−
|         |         |         |         |                 |         |
+
|   |       a b c      |                   |                   |
−
| f_12   | f_1100 | 1 1 0 0 |   x     | x                | x      |
+
|   |      o o o      |                  |                   |
−
|         |         |         |         |                 |         |
+
|    |        \|/        |                  |                  |
−
| f_13   | f_1101  | 1 1 0 1 | ((x) y)  | not y without x  | x <= y  |
+
|   |         o        |                  |                   |
−
|         |         |         |         |                 |         |
+
|   |        |        |                   |                   |
−
| f_14   | f_1110 | 1 1 1 0 | ((x)(y)) | x or y          |  x v y |
+
|  6 |         @        |   ((a)(b)(c))   |    a or b or c.  |
−
|         |         |         |         |                 |         |
+
|   |                   |                   |                   |
−
| f_15   | f_1111  | 1 1 1 1 |  (())  | true            |   1    |
+
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
−
|         |         |         |         |                  |          |
+
|   |                   |                   |                   |
−
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
+
|   |                   |                   |   a implies b.   |
 +
|   |        a  b    |                   |                   |
 +
|   |         o---o     |                   |   if a then b.  |
 +
|   |        |        |                   |                   |
 +
|  7 |         @        |     ( a (b))      |   no a sans b.  |
 +
|   |                  |                  |                  |
 +
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
 +
|   |                   |                   |                   |
 +
|   |      a  b      |                   |                   |
 +
|   |       o---o      |                   | a exclusive-or b. |
 +
|   |       \ /        |                   |                   |
 +
|  8 |         @        |     ( a , b )     | a not equal to b. |
 +
|   |                   |                   |                   |
 +
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
 +
|   |                   |                   |                   |
 +
|   |       a  b      |                   |                   |
 +
|   |      o---o      |                   |                   |
 +
|   |       \ /        |                   |                   |
 +
|   |         o        |                   | a if & only if b. |
 +
|   |        |        |                   |                   |
 +
|  9 |         @        |   (( a , b ))   | a equates with b. |
 +
|   |                   |                   |                   |
 +
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
 +
|   |                   |                   |                   |
 +
|    |     a b  c      |                   |                  |
 +
|    |      o--o--o      |                  |                  |
 +
|    |      \   /      |                   |                  |
 +
|    |        \ /        |                  |  just one false  |
 +
| 10 |        @        |  ( a , b , c )  |  out of a, b, c.  |
 +
|   |                   |                   |                   |
 +
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
 +
|    |                   |                  |                   |
 +
|   |     a b c      |                   |                   |
 +
|   |     o  o  o      |                   |                   |
 +
|    |     | | |      |                   |                   |
 +
|   |      o--o--o      |                  |                  |
 +
|   |       \  /      |                   |                   |
 +
|    |       \ /        |                  |  just one true  |
 +
| 11 |         @        |   ((a),(b),(c))  |  among a, b, c. |
 +
|    |                  |                  |                   |
 +
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
 +
|   |                  |                  |                  |
 +
|   |                   |                   |   genus a over    |
 +
|    |         b c      |                   |  species b, c.  |
 +
|   |         o o      |                  |                  |
 +
|    |      a | |      |                  |  partition a    |
 +
|   |      o--o--o      |                  |   among b & c.    |
 +
|   |       \  /      |                   |                  |
 +
|    |       \ /        |                  |  whole pie a:    |
 +
| 12 |         @        |  ( a ,(b),(c))  |   slices b, c.   |
 +
|   |                   |                   |                   |
 +
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
 
</pre>
 
</pre>
 +
|}
  
 +
{| align="center" cellpadding="6" style="text-align:center; width:90%"
 +
|
 
<pre>
 
<pre>
−
Table A2.  Propositional Forms On Two Variables
+
Table 14.  The Entitative Interpretation
−
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
+
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
−
| L_1    | L_2    | L_3     | L_4      | L_5              | L_6      |
+
| En |  Cactus Graph    | Cactus Expression |   Entitative     |
−
|         |        |        |          |                  |          |
+
|   |                   |                   | Interpretation  |
−
| Decimal | Binary  | Vector  | Cactus  | English          | Ordinary |
+
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
−
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
+
|   |                   |                   |                   |
−
|         |       x : 1 1 0 0 |         |                 |         |
+
| 1 |         @         |       " "        |     untrue.      |
−
|        |       y : 1 0 1 0 |         |                 |         |
+
|   |                   |                  |                  |
−
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
+
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
−
|         |         |         |         |                 |         |
+
|   |                   |                   |                   |
−
| f_0    | f_0000  | 0 0 0 0 |    ()    | false            |   0    |
+
|   |         o        |                   |                   |
−
|        |         |         |         |                 |         |
+
|    |         |        |                  |                   |
−
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
+
|  2 |         @         |       ( )        |      true.      |
−
|         |         |         |         |                 |         |
+
|   |                   |                   |                   |
−
| f_1    | f_0001  | 0 0 0 1 |  (x)(y)  | neither x nor y  | ~x & ~y  |
+
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
−
|        |         |        |          |                  |          |
+
|   |                   |                   |                   |
−
| f_2    | f_0010  | 0 0 1 0 | (x) y  | y and not x      | ~x &  y  |
+
|   |         a        |                   |                   |
−
|        |        |        |          |                  |          |
+
|  3 |         @        |        a         |        a.        |
−
| f_4    | f_0100  | 0 1 0 0 |  x (y)  | x and not y      |  x & ~y  |
+
|   |                   |                   |                   |
−
|        |         |         |         |                 |         |
+
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
−
| f_8    | f_1000  | 1 0 0 0 |   x  y  | x and y          | x &  y  |
+
|   |                   |                   |                   |
−
|         |        |        |         |                 |         |
+
|    |         a        |                  |                   |
−
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
+
|   |         o        |                   |                   |
−
|         |         |         |         |                 |         |
+
|   |        |        |                   |                   |
−
| f_3    | f_0011  | 0 0 1 1 |  (x)    | not x            | ~x       |
+
| 4 |        @        |        (a)        |      not a.      |
−
|        |        |        |          |                  |          |
+
|    |                  |                  |                  |
−
| f_12   | f_1100  | 1 1 0 0 |   x      | x                |  x      |
+
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
−
|        |        |        |          |                  |          |
+
|   |                   |                   |                   |
−
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
+
|   |       a b c      |                   |                   |
−
|         |         |         |         |                 |         |
+
|  5 |         @        |       a b c       |   a or b or c.  |
−
| f_6    | f_0110  | 0 1 1 0 | (x, y)  | x not equal to y | x +  y  |
+
|    |                   |                   |                   |
−
|         |        |         |         |                 |         |
+
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
−
| f_9    | f_1001  | 1 0 0 1 | ((x, y)) | x equal to y    |  x =  y  |
+
|   |                   |                   |                   |
−
|         |        |        |         |                 |         |
+
|   |       a b c      |                  |                   |
−
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
+
|   |       o o o      |                   |                   |
−
|         |         |         |         |                  |          |
+
|   |       \|/        |                   |                   |
−
| f_5    | f_0101  | 0 1 0 1 |     (y)  | not y            |     ~y  |
+
|   |         o        |                   |                   |
−
|         |        |         |         |                  |          |
+
|   |        |        |                   |                   |
−
| f_10   | f_1010  | 1 0 1 0 |     y  | y                |      y  |
+
|  6 |        @        |    ((a)(b)(c))    |  a and b and c.  |
−
|         |         |         |         |                 |         |
+
|    |                  |                  |                  |
−
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
+
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
−
|         |         |         |         |                 |         |
+
|   |                   |                   |                   |
−
| f_7    | f_0111  | 0 1 1 1 | (x  y)  | not both x and y | ~x v ~y  |
+
|   |                   |                   |   a implies b.  |
−
|         |         |         |         |                  |          |
+
|    |                  |                   |                   |
−
| f_11    | f_1011 | 1 0 1 1 | (x (y)) | not x without y  |  x => y  |
+
|   |        o a      |                   |   if a then b.  |
−
|         |         |         |         |                  |          |
+
|    |         |         |                  |                  |
−
| f_13    | f_1101  | 1 1 0 1 | ((x) y)  | not y without x  |  x <= y  |
+
| 7 |         @ b       |     (a) b        |   not a, or b.  |
−
|        |        |        |          |                  |          |
+
|   |                   |                   |                   |
−
| f_14    | f_1110  | 1 1 1 0 | ((x)(y)) | x or y          |  x v  y  |
+
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
−
|        |        |        |          |                  |          |
+
|   |                   |                   |                   |
−
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
+
|   |       a  b      |                   |                   |
−
|        |        |        |          |                  |          |
+
|   |      o---o      |                   | a if & only if b. |
−
| f_15    | f_1111  | 1 1 1 1 |  (())  | true            |    1    |
+
|   |       \ /        |                   |                   |
−
|        |        |        |          |                  |          |
+
|  8 |         @        |     ( a , b )     | a equates with b. |
−
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
+
|   |                   |                   |                   |
 +
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
|    |      a  b      |                  |                  |
 +
|    |      o---o       |                  |                  |
 +
|    |        \ /        |                  |                  |
 +
|    |        o        |                  | a exclusive-or b. |
 +
|    |        |        |                  |                  |
 +
|  9 |        @        |    (( a , b ))    | a not equal to b. |
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
|    |      a  b  c      |                  |                  |
 +
|    |      o--o--o      |                  |                  |
 +
|    |      \  /      |                  |                  |
 +
|    |        \ /        |                  | not just one true |
 +
| 10 |        @        |  ( a , b , c )  | out of a, b, c.  |
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
|    |      a  b  c      |                  |                  |
 +
|    |      o--o--o      |                  |                  |
 +
|    |      \  /      |                  |                  |
 +
|    |        \ /        |                  |                  |
 +
|    |        o        |                  |                  |
 +
|    |        |        |                  |  just one true  |
 +
| 11 |        @        |  (( a , b , c ))  |  among a, b, c.  |
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
|    |      a            |                  |                  |
 +
|    |      o            |                  |  genus a over    |
 +
|    |      |  b  c      |                  |  species b, c.  |
 +
|    |      o--o--o      |                  |                  |
 +
|    |      \  /      |                  |  partition a    |
 +
|    |        \ /        |                  |  among b & c.    |
 +
|    |        o        |                  |                  |
 +
|    |        |        |                  |  whole pie a:    |
 +
| 12 |        @        |  (((a), b , c ))  |  slices b, c.    |
 +
|    |                  |                  |                  |
 +
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
 
</pre>
 
</pre>
 +
|}
  
 +
{| align="center" cellpadding="6" style="text-align:center; width:90%"
 +
|
 
<pre>
 
<pre>
−
Table A3.  Ef Expanded Over Differential Features {dx, dy}
+
Table 15.  Existential & Entitative Interpretations of Cactus Structures
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
o-----------------o-----------------o-----------------o-----------------o
−
|     |           |           |           |           |           |
+
| Cactus Graph  | Cactus String  | Existential    |   Entitative    |
−
|     |     f      |  T_11 f  |  T_10 f  |  T_01 f  |  T_00 f  |
+
|                 |                 | Interpretation  | Interpretation  |
−
|      |            |            |            |            |            |
+
o-----------------o-----------------o-----------------o-----------------o
−
|      |            | Ef| dx dy  | Ef| dx(dy) | Ef| (dx)dy | Ef|(dx)(dy)|
+
|                 |                 |                 |                 |
−
|      |            |            |            |            |            |
+
|       @        |       " "      |     true      |     false      |
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
|                 |                 |                 |                 |
−
|     |           |           |           |           |           |
+
o-----------------o-----------------o-----------------o-----------------o
−
| f_0  |     ()    |    ()    |    ()    |    ()    |    ()    |
+
|                 |                |                |                |
−
|     |            |           |           |           |            |
+
|        o        |                |                |                |
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
|       |       |                 |                 |                 |
−
|     |           |           |           |           |           |
+
|       @        |       ( )       |     false      |     true      |
−
| f_1  |   (x)(y)  |   x  y    |   x (y)  |   (x) y    |   (x)(y)  |
+
|                 |                 |                 |                 |
−
|      |           |           |            |            |            |
+
o-----------------o-----------------o-----------------o-----------------o
−
| f_2  |  (x) y    |    x (y)  |    x  y    |  (x)(y)  |  (x) y    |
+
|                |                 |                 |                 |
−
|      |            |            |            |            |            |
+
|   C_1 ... C_k  |                 |                 |                 |
−
| f_4  |    x (y)  |  (x) y    |  (x)(y)  |    x  y    |    x (y)  |
+
|       @        |  C_1 ... C_k   | C_1 & ... & C_k | C_1 v ... v C_k |
−
|     |           |           |           |           |           |
+
|                 |                 |                 |                 |
−
| f_8  |    x  y    |  (x)(y)   |   (x) y    |   x (y)  |   x  y    |
+
o-----------------o-----------------o-----------------o-----------------o
−
|     |           |           |            |            |            |
+
|                 |                 |                 |                 |
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
| C_1 C_2  C_k  |                 |  Just one      | Not just one   |
−
|     |           |           |           |           |           |
+
|  o---o-...-o  |                |                |                |
−
| f_3 |  (x)      |   x      |    x       |   (x)      |  (x)      |
+
|    \       /    |                 | of the C_j,    | of the C_j,    |
−
|     |           |           |           |           |           |
+
|     \    /    |                 |                 |                 |
−
| f_12 |    x      |  (x)     |   (x)      |    x      |    x      |
+
|     \  /     |                 | j = 1 to k,   | j = 1 to k,   |
−
|     |           |           |           |           |           |
+
|       \ /      |                 |                 |                 |
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
|       @        | (C_1, ..., C_k) |  is not true.  |  is true.      |
−
|     |           |           |            |           |            |
+
|                |                |                |                |
−
| f_6  |  (x, y)  |   (x, y)  | ((x, y))  | ((x, y))  |   (x, y)  |
+
o-----------------o-----------------o-----------------o-----------------o
−
|     |            |            |            |           |           |
+
</pre>
−
| f_9  | ((x, y))  | ((x, y))  |   (x, y)  |   (x, y)  | ((x, y))  |
+
|}
−
|     |           |           |           |           |           |
+
 
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
===Wiki TeX Tables===
−
|      |            |            |            |            |            |
+
 
−
| f_5  |     (y)   |       y    |     (y)   |      y    |      (y)   |
+
<br>
−
|      |            |            |            |            |            |
+
 
−
| f_10 |      y    |      (y)  |      y    |     (y)   |       y    |
+
{| align="center" border="1" cellpadding="6" cellspacing="0" style="text-align:center; width:90%"
−
|      |            |            |            |            |            |
+
|+ <math>\text{Table A.}~~\text{Existential Interpretation}</math>
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
|- style="background:#f0f0ff"
−
|      |            |            |            |            |            |
+
| <math>\text{Cactus Graph}\!</math>
−
| f_7  |  (x  y)  | ((x)(y))  |  ((x) y)   |   (x (y))  |  (x  y)   |
+
| <math>\text{Cactus Expression}\!</math>
−
|     |            |            |            |            |            |
+
| <math>\text{Interpretation}\!</math>
−
| f_11 |   (x (y))  |  ((x) y)   | ((x)(y)) |  (x  y)  |  (x (y))  |
+
|-
−
|      |            |            |            |            |            |
+
| height="100px" | [[Image:Cactus Node Big Fat.jpg|20px]]
−
| f_13 |  ((x) y)  |  (x (y))  |  (x  y)  |  ((x)(y))  |  ((x) y)  |
+
| <math>{}^{\backprime\backprime}\texttt{~}{}^{\prime\prime}</math>
−
|      |            |            |            |            |            |
+
| <math>\operatorname{true}.</math>
−
| f_14 |  ((x)(y))  |  (x  y)  |  (x (y))  |  ((x) y)  |  ((x)(y))  |
+
|-
−
|      |            |            |            |            |            |
+
| height="100px" | [[Image:Cactus Spike Big Fat.jpg|20px]]
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
| <math>\texttt{(~)}</math>
−
|      |            |            |            |            |            |
+
| <math>\operatorname{false}.</math>
−
| f_15 |    (())    |    (())    |    (())    |    (())    |    (())    |
+
|-
−
|      |            |            |            |            |            |
+
| height="100px" | [[Image:Cactus A Big.jpg|20px]]
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
| <math>a\!</math>
−
|                  |            |            |            |            |
+
| <math>a.\!</math>
−
| Fixed Point Total |      4    |      4    |      4    |    16    |
+
|-
−
|                  |            |            |            |            |
+
| height="120px" | [[Image:Cactus (A) Big.jpg|20px]]
−
o-------------------o------------o------------o------------o------------o
+
| <math>\texttt{(} a \texttt{)}</math>
−
</pre>
+
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\tilde{a}
 +
\\[2pt]
 +
a^\prime
 +
\\[2pt]
 +
\lnot a
 +
\\[2pt]
 +
\operatorname{not}~ a.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="100px" | [[Image:Cactus ABC Big.jpg|50px]]
 +
| <math>a~b~c</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
a \land b \land c
 +
\\[6pt]
 +
a ~\operatorname{and}~ b ~\operatorname{and}~ c.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="160px" | [[Image:Cactus ((A)(B)(C)) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{((} a \texttt{)(} b \texttt{)(} c \texttt{))}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
a \lor b \lor c
 +
\\[6pt]
 +
a ~\operatorname{or}~ b ~\operatorname{or}~ c.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="120px" | [[Image:Cactus (A(B)) Big.jpg|60px]]
 +
| <math>\texttt{(} a \texttt{(} b \texttt{))}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
a \Rightarrow b
 +
\\[2pt]
 +
a ~\operatorname{implies}~ b.
 +
\\[2pt]
 +
\operatorname{if}~ a ~\operatorname{then}~ b.
 +
\\[2pt]
 +
\operatorname{not}~ a ~\operatorname{without}~ b.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="120px" | [[Image:Cactus (A,B) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{(} a, b \texttt{)}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
a + b
 +
\\[2pt]
 +
a \neq b
 +
\\[2pt]
 +
a ~\operatorname{exclusive-or}~ b.
 +
\\[2pt]
 +
a ~\operatorname{not~equal~to}~ b.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="160px" | [[Image:Cactus ((A,B)) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{((} a, b \texttt{))}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
a = b
 +
\\[2pt]
 +
a \iff b
 +
\\[2pt]
 +
a ~\operatorname{equals}~ b.
 +
\\[2pt]
 +
a ~\operatorname{if~and~only~if}~ b.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="120px" | [[Image:Cactus (A,B,C) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{(} a, b, c \texttt{)}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{just~one~of}
 +
\\
 +
a, b, c
 +
\\
 +
\operatorname{is~false}.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="160px" | [[Image:Cactus ((A),(B),(C)) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{((} a \texttt{)}, \texttt{(} b \texttt{)}, \texttt{(} c \texttt{))}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{just~one~of}
 +
\\
 +
a, b, c
 +
\\
 +
\operatorname{is~true}.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="160px" | [[Image:Cactus (A,(B),(C)) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{(} a, \texttt{(} b \texttt{)}, \texttt{(} c \texttt{))}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{genus}~ a ~\operatorname{of~species}~ b, c.
 +
\\[6pt]
 +
\operatorname{partition}~ a ~\operatorname{into}~ b, c.
 +
\\[6pt]
 +
\operatorname{pie}~ a ~\operatorname{of~slices}~ b, c.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|}
  
−
<pre>
+
<br>
−
Table A4.  Df Expanded Over Differential Features {dx, dy}
 
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
 
−
|      |            |            |            |            |            |
 
−
|      |    f      | Df| dx dy  | Df| dx(dy) | Df| (dx)dy | Df|(dx)(dy)|
 
−
|      |            |            |            |            |            |
 
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
 
−
|      |            |            |            |            |            |
 
−
| f_0  |    ()    |    ()    |    ()    |    ()    |    ()    |
 
−
|      |            |            |            |            |            |
 
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
 
−
|      |            |            |            |            |            |
 
−
| f_1  |  (x)(y)  |  ((x, y))  |    (y)    |    (x)    |    ()    |
 
−
|      |            |            |            |            |            |
 
−
| f_2  |  (x) y    |  (x, y)  |    y      |    (x)    |    ()    |
 
−
|      |            |            |            |            |            |
 
−
| f_4  |    x (y)  |  (x, y)  |    (y)    |    x      |    ()    |
 
−
|      |            |            |            |            |            |
 
−
| f_8  |    x  y    |  ((x, y))  |    y      |    x      |    ()    |
 
−
|      |            |            |            |            |            |
 
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
 
−
|      |            |            |            |            |            |
 
−
| f_3  |  (x)      |    (())    |    (())    |    ()    |    ()    |
 
−
|      |            |            |            |            |            |
 
−
| f_12 |    x      |    (())    |    (())    |    ()    |    ()    |
 
−
|      |            |            |            |            |            |
 
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
 
−
|      |            |            |            |            |            |
 
−
| f_6  |  (x, y)  |    ()    |    (())    |    (())    |    ()    |
 
−
|      |            |            |            |            |            |
 
−
| f_9  |  ((x, y))  |    ()    |    (())    |    (())    |    ()    |
 
−
|      |            |            |            |            |            |
 
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
 
−
|      |            |            |            |            |            |
 
−
| f_5  |      (y)  |    (())    |    ()    |    (())    |    ()    |
 
−
|      |            |            |            |            |            |
 
−
| f_10 |      y    |    (())    |    ()    |    (())    |    ()    |
 
−
|      |            |            |            |            |            |
 
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
 
−
|      |            |            |            |            |            |
 
−
| f_7  |  (x  y)  |  ((x, y))  |    y      |    x      |    ()    |
 
−
|      |            |            |            |            |            |
 
−
| f_11 |  (x (y))  |  (x, y)  |    (y)    |    x      |    ()    |
 
−
|      |            |            |            |            |            |
 
−
| f_13 |  ((x) y)  |  (x, y)  |    y      |    (x)    |    ()    |
 
−
|      |            |            |            |            |            |
 
−
| f_14 |  ((x)(y))  |  ((x, y))  |    (y)    |    (x)    |    ()    |
 
−
|      |            |            |            |            |            |
 
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
 
−
|      |            |            |            |            |            |
 
−
| f_15 |    (())    |    ()    |    ()    |    ()    |    ()    |
 
−
|      |            |            |            |            |            |
 
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
 
−
</pre>
 
  
−
<pre>
+
{| align="center" border="1" cellpadding="6" cellspacing="0" style="text-align:center; width:90%"
−
Table A5. Ef Expanded Over Ordinary Features {x, y}
+
|+ <math>\text{Table B.}~~\text{Entitative Interpretation}</math>
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
|- style="background:#f0f0ff"
−
|     |           |           |           |           |           |
+
| <math>\text{Cactus Graph}\!</math>
−
|     |     f      | Ef | xy  | Ef | x(y)  | Ef | (x)y  | Ef | (x)(y)|
+
| <math>\text{Cactus Expression}\!</math>
−
|     |            |            |            |            |            |
+
| <math>\text{Interpretation}\!</math>
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
|-
−
|     |           |           |           |           |            |
+
| height="100px" | [[Image:Cactus Node Big Fat.jpg|20px]]
−
| f_0  |     ()     |     ()    |     ()     |     ()    |    ()    |
+
| <math>{}^{\backprime\backprime}\texttt{~}{}^{\prime\prime}</math>
−
|     |           |           |           |            |            |
+
| <math>\operatorname{false}.</math>
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
|-
−
|     |            |            |            |            |            |
+
| height="100px" | [[Image:Cactus Spike Big Fat.jpg|20px]]
−
| f_1  |   (x)(y)   |  dx  dy  |  dx (dy) |  (dx) dy  |  (dx)(dy)  |
+
| <math>\texttt{(~)}</math>
−
|     |            |            |            |            |            |
+
| <math>\operatorname{true}.</math>
−
| f_2  |  (x) y    |  dx (dy) |  dx  dy  |  (dx)(dy) |  (dx) dy  |
+
|-
−
|     |            |            |            |            |            |
+
| height="100px" | [[Image:Cactus A Big.jpg|20px]]
−
| f_4  |   x (y)   | (dx) dy  | (dx)(dy)  |  dx  dy  |  dx (dy)  |
+
| <math>a\!</math>
−
|     |            |            |            |            |            |
+
| <math>a.\!</math>
−
| f_8  |   x  y    |  (dx)(dy)  | (dx) dy  |   dx (dy) |  dx  dy  |
+
|-
−
|      |            |            |            |            |            |
+
| height="120px" | [[Image:Cactus (A) Big.jpg|20px]]
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
| <math>\texttt{(} a \texttt{)}</math>
−
|     |            |            |            |            |            |
+
|
−
| f_3  |   (x)      |  dx      |  dx      |  (dx)     |  (dx)     |
+
<math>\begin{matrix}
−
|     |            |            |            |            |            |
+
\tilde{a}
−
| f_12 |    x      |  (dx)     |  (dx)     |  dx      |  dx      |
+
\\[2pt]
−
|      |            |            |            |            |            |
+
a^\prime
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
\\[2pt]
−
|     |            |            |            |            |            |
+
\lnot a
−
| f_6  |   (x, y)   | (dx, dy)  | ((dx, dy)) | ((dx, dy)) |  (dx, dy)  |
+
\\[2pt]
−
|     |            |            |            |            |            |
+
\operatorname{not}~ a.
−
| f_9  | ((x, y)) | ((dx, dy)) | (dx, dy)  |  (dx, dy)  | ((dx, dy)) |
+
\end{matrix}</math>
−
|      |            |            |            |            |            |
+
|-
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
| height="100px" | [[Image:Cactus ABC Big.jpg|50px]]
−
|      |            |            |            |            |            |
+
| <math>a~b~c</math>
−
| f_5  |      (y)  |      dy  |      (dy)  |      dy  |      (dy)  |
+
|
−
|      |            |            |            |            |            |
+
<math>\begin{matrix}
−
| f_10 |      y    |      (dy)  |      dy  |      (dy)  |      dy  |
+
a \lor b \lor c
−
|      |            |            |            |            |            |
+
\\[6pt]
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
a ~\operatorname{or}~ b ~\operatorname{or}~ c.
−
|     |            |            |            |            |            |
+
\end{matrix}</math>
−
| f_7  |   (x  y)  | ((dx)(dy)) | ((dx) dy)  |  (dx (dy)) | (dx  dy)  |
+
|-
−
|     |            |            |            |            |            |
+
| height="160px" | [[Image:Cactus ((A)(B)(C)) Big.jpg|65px]]
−
| f_11 |  (x (y))  | ((dx) dy)  | ((dx)(dy)) |  (dx  dy)  |  (dx (dy)) |
+
| <math>\texttt{((} a \texttt{)(} b \texttt{)(} c \texttt{))}</math>
−
|      |            |            |            |            |            |
+
|
−
| f_13 |  ((x) y)  |  (dx (dy)) |  (dx  dy)  | ((dx)(dy)) | ((dx) dy)  |
+
<math>\begin{matrix}
−
|      |            |            |            |            |            |
+
a \land b \land c
−
| f_14 |  ((x)(y))  |  (dx  dy)  |  (dx (dy)) | ((dx) dy)  | ((dx)(dy)) |
+
\\[6pt]
−
|      |            |            |            |            |            |
+
a ~\operatorname{and}~ b ~\operatorname{and}~ c.
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
\end{matrix}</math>
−
|      |            |            |            |            |            |
+
|-
−
| f_15 |    (())    |    (())    |    (())    |    (())    |    (())    |
+
| height="120px" | [[Image:Cactus (A)B Big.jpg|35px]]
−
|     |            |            |            |            |            |
+
| <math>\texttt{(} a \texttt{)} b</math>
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
|
−
</pre>
+
<math>\begin{matrix}
 +
a \Rightarrow b
 +
\\[2pt]
 +
a ~\operatorname{implies}~ b.
 +
\\[2pt]
 +
\operatorname{if}~ a ~\operatorname{then}~ b.
 +
\\[2pt]
 +
\operatorname{not}~ a, ~\operatorname{or}~ b.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="120px" | [[Image:Cactus (A,B) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{(} a, b \texttt{)}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
a = b
 +
\\[2pt]
 +
a \iff b
 +
\\[2pt]
 +
a ~\operatorname{equals}~ b.
 +
\\[2pt]
 +
a ~\operatorname{if~and~only~if}~ b.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="160px" | [[Image:Cactus ((A,B)) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{((} a, b \texttt{))}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
a + b
 +
\\[2pt]
 +
a \neq b
 +
\\[2pt]
 +
a ~\operatorname{exclusive-or}~ b.
 +
\\[2pt]
 +
a ~\operatorname{not~equal~to}~ b.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="120px" | [[Image:Cactus (A,B,C) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{(} a, b, c \texttt{)}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{not~just~one~of}
 +
\\
 +
a, b, c
 +
\\
 +
\operatorname{is~true}.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="160px" | [[Image:Cactus ((A,B,C)) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{((} a, b, c \texttt{))}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{just~one~of}
 +
\\
 +
a, b, c
 +
\\
 +
\operatorname{is~true}.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="200px" | [[Image:Cactus (((A),B,C)) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{(((} a \texttt{)}, b, c \texttt{))}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{genus}~ a ~\operatorname{of~species}~ b, c.
 +
\\[6pt]
 +
\operatorname{partition}~ a ~\operatorname{into}~ b, c.
 +
\\[6pt]
 +
\operatorname{pie}~ a ~\operatorname{of~slices}~ b, c.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|}
 +
 
 +
<br>
  
−
<pre>
+
{| align="center" border="1" cellpadding="6" cellspacing="0" style="text-align:center; width:90%"
−
Table A6. Df Expanded Over Ordinary Features {x, y}
+
|+ <math>\text{Table C.}~~\text{Dualing Interpretations}</math>
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
|- style="background:#f0f0ff"
−
|     |           |           |           |           |           |
+
| <math>\text{Graph}\!</math>
−
|     |     f      | Df | xy  | Df | x(y)  | Df | (x)y  | Df | (x)(y)|
+
| <math>\text{String}\!</math>
−
|     |            |            |            |            |            |
+
| <math>\text{Existential}\!</math>
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
| <math>\text{Entitative}\!</math>
−
|     |           |           |           |           |           |
+
|-
−
| f_0  |     ()     |     ()    |     ()     |     ()    |    ()    |
+
| height="100px" | [[Image:Cactus Node Big Fat.jpg|20px]]
−
|     |            |            |            |            |            |
+
| <math>{}^{\backprime\backprime}\texttt{~}{}^{\prime\prime}</math>
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
| <math>\operatorname{true}.</math>
−
|     |           |           |           |            |            |
+
| <math>\operatorname{false}.</math>
−
| f_1 |   (x)(y)  |   dx  dy  |   dx (dy)  |  (dx) dy  | ((dx)(dy)) |
+
|-
−
|     |            |            |            |            |            |
+
| height="100px" | [[Image:Cactus Spike Big Fat.jpg|20px]]
−
| f_2  |  (x) y    |  dx (dy) |  dx  dy  | ((dx)(dy)) |  (dx) dy  |
+
| <math>\texttt{(~)}</math>
−
|     |            |            |            |            |            |
+
| <math>\operatorname{false}.</math>
−
| f_4  |   x (y)   | (dx) dy  | ((dx)(dy)) |   dx  dy  |  dx (dy)  |
+
| <math>\operatorname{true}.</math>
−
|     |            |            |            |            |            |
+
|-
−
| f_8  |    x  y    | ((dx)(dy)) | (dx) dy  |   dx (dy) |   dx  dy  |
+
| height="100px" | [[Image:Cactus A Big.jpg|20px]]
−
|     |            |            |            |            |            |
+
| <math>a\!</math>
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
| <math>a.\!</math>
−
|     |           |            |            |            |            |
+
| <math>a.\!</math>
−
| f_3  |  (x)     |  dx      |  dx      |  dx      |  dx      |
+
|-
−
|     |            |            |            |            |            |
+
| height="120px" | [[Image:Cactus (A) Big.jpg|20px]]
−
| f_12 |    x      |   dx      |  dx      |  dx      |  dx      |
+
| <math>\texttt{(} a \texttt{)}</math>
−
|     |            |            |            |            |            |
+
| <math>\lnot a</math>
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
| <math>\lnot a</math>
−
|     |           |            |            |            |            |
+
|-
−
| f_6  |  (x, y)   | (dx, dy)  |  (dx, dy) |  (dx, dy) |  (dx, dy)  |
+
| height="100px" | [[Image:Cactus ABC Big.jpg|50px]]
−
|     |            |            |            |            |            |
+
| <math>a~b~c</math>
−
| f_9  | ((x, y))  | (dx, dy)  |  (dx, dy) | (dx, dy)  |  (dx, dy)  |
+
| <math>a \land b \land c</math>
−
|      |            |            |            |            |            |
+
| <math>a \lor  b \lor c</math>
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
|-
−
|      |            |            |            |            |            |
+
| height="160px" | [[Image:Cactus ((A)(B)(C)) Big.jpg|65px]]
−
| f_5  |      (y)  |      dy  |      dy  |      dy  |      dy  |
+
| <math>\texttt{((} a \texttt{)(} b \texttt{)(} c \texttt{))}</math>
−
|      |            |            |            |            |            |
+
| <math>a \lor b \lor  c</math>
−
| f_10 |      y    |      dy  |      dy  |      dy  |      dy  |
+
| <math>a \land b \land c</math>
−
|      |            |            |            |            |            |
+
|-
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
| height="120px" | [[Image:Cactus (A(B)) Big.jpg|60px]]
−
|     |            |            |            |            |            |
+
| <math>\texttt{(} a \texttt{(} b \texttt{))}</math>
−
| f_7  |   (x  y)   | ((dx)(dy)) | (dx) dy  |  dx (dy) |   dx  dy  |
+
| <math>a \Rightarrow b</math>
−
|     |            |            |            |            |            |
+
| &nbsp;
−
| f_11 |   (x (y)) | (dx) dy  | ((dx)(dy)) |   dx  dy  |  dx (dy)  |
+
|-
−
|     |            |            |            |            |            |
+
| height="120px" | [[Image:Cactus (A)B Big.jpg|35px]]
−
| f_13 | ((x) y)  |  dx (dy) |  dx  dy  | ((dx)(dy)) |  (dx) dy  |
+
| <math>\texttt{(} a \texttt{)} b</math>
−
|     |            |            |            |            |            |
+
| &nbsp;
−
| f_14 |  ((x)(y))  |  dx  dy  |  dx (dy) |  (dx) dy  | ((dx)(dy)) |
+
| <math>a \Rightarrow b</math>
−
|     |            |            |            |            |            |
+
|-
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
| height="120px" | [[Image:Cactus (A,B) Big.jpg|65px]]
−
|     |            |            |            |            |            |
+
| <math>\texttt{(} a, b \texttt{)}</math>
−
| f_15 |   (())   |     ()    |    ()     |    ()     |    ()     |
+
| <math>a \neq b</math>
−
|      |            |            |            |            |            |
+
| <math>a   =  b\!</math>
−
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
+
|-
−
</pre>
+
| height="160px" | [[Image:Cactus ((A,B)) Big.jpg|65px]]
−
 
+
| <math>\texttt{((} a, b \texttt{))}</math>
−
<pre>
+
| <math>a  = b\!</math>
−
o----------o----------o----------o----------o----------o
+
| <math>a \neq b\!</math>
−
|          %          |          |          |          |
+
|-
−
|    ·    %  T_00  |  T_01  |  T_10  |  T_11  |
+
| height="120px" | [[Image:Cactus (A,B,C) Big.jpg|65px]]
−
|          %          |          |          |          |
+
| <math>\texttt{(} a, b, c \texttt{)}</math>
−
o==========o==========o==========o==========o==========o
+
|
−
|         %          |          |          |          |
+
<math>\begin{matrix}
−
|   T_00  %  T_00  |  T_01  |  T_10  |  T_11  |
+
\operatorname{just~one}
−
|          %          |          |          |          |
+
\\
−
o----------o----------o----------o----------o----------o
+
\operatorname{of}~ a, b, c
−
|         %          |         |          |          |
+
\\
−
|   T_01  %  T_01  |  T_00  |  T_11  |  T_10  |
+
\operatorname{is~false}.
−
|         %          |          |          |          |
+
\end{matrix}</math>
−
o----------o----------o----------o----------o----------o
+
|
−
|          %          |          |          |          |
+
<math>\begin{matrix}
−
|  T_10  %  T_10  |  T_11  |  T_00  |  T_01  |
+
\operatorname{not~just~one}
−
|          %          |          |          |          |
+
\\
−
o----------o----------o----------o----------o----------o
+
\operatorname{of}~ a, b, c
−
|          %          |          |          |          |
+
\\
−
|  T_11  %  T_11  |  T_10  |  T_01  |  T_00  |
+
\operatorname{is~true}.
−
|         %          |          |          |          |
+
\end{matrix}</math>
−
o----------o----------o----------o----------o----------o
+
|-
−
</pre>
+
| height="160px" | [[Image:Cactus ((A),(B),(C)) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{((} a \texttt{)}, \texttt{(} b \texttt{)}, \texttt{(} c \texttt{))}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{just~one}
 +
\\
 +
\operatorname{of}~ a, b, c
 +
\\
 +
\operatorname{is~true}.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{not~just~one}
 +
\\
 +
\operatorname{of}~ a, b, c
 +
\\
 +
\operatorname{is~false}.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="160px" | [[Image:Cactus ((A,B,C)) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{((} a, b, c \texttt{))}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{not~just~one}
 +
\\
 +
\operatorname{of}~ a, b, c
 +
\\
 +
\operatorname{is~false}.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{just~one}
 +
\\
 +
\operatorname{of}~ a, b, c
 +
\\
 +
\operatorname{is~true}.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="200px" | [[Image:Cactus (((A),(B),(C))) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{(((} a \texttt{)}, \texttt{(} b \texttt{)}, \texttt{(} c \texttt{)))}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{not~just~one}
 +
\\
 +
\operatorname{of}~ a, b, c
 +
\\
 +
\operatorname{is~true}.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{just~one}
 +
\\
 +
\operatorname{of}~ a, b, c
 +
\\
 +
\operatorname{is~false}.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| height="160px" | [[Image:Cactus (A,(B),(C)) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{(} a, \texttt{(} b \texttt{)}, \texttt{(} c \texttt{))}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{partition}~ a
 +
\\
 +
\operatorname{into}~ b, c.
 +
\end{matrix}</math>
 +
| &nbsp;
 +
|-
 +
| height="200px" | [[Image:Cactus (((A),B,C)) Big.jpg|65px]]
 +
| <math>\texttt{(((} a \texttt{)}, b, c \texttt{))}</math>
 +
| &nbsp;
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{partition}~ a
 +
\\
 +
\operatorname{into}~ b, c.
 +
\end{matrix}</math>
 +
|}
 +
 
 +
<br>
 +
 
 +
==Differential Logic==
  
−
<pre>
+
===Ascii Tables===
−
o---------o---------o---------o---------o---------o
 
−
|        %        |        |        |        |
 
−
|    ·    %    e    |    f    |    g    |    h    |
 
−
|        %        |        |        |        |
 
−
o=========o=========o=========o=========o=========o
 
−
|        %        |        |        |        |
 
−
|    e    %    e    |    f    |    g    |    h    |
 
−
|        %        |        |        |        |
 
−
o---------o---------o---------o---------o---------o
 
−
|        %        |        |        |        |
 
−
|    f    %    f    |    e    |    h    |    g    |
 
−
|        %        |        |        |        |
 
−
o---------o---------o---------o---------o---------o
 
−
|        %        |        |        |        |
 
−
|    g    %    g    |    h    |    e    |    f    |
 
−
|        %        |        |        |        |
 
−
o---------o---------o---------o---------o---------o
 
−
|        %        |        |        |        |
 
−
|    h    %    h    |    g    |    f    |    e    |
 
−
|        %        |        |        |        |
 
−
o---------o---------o---------o---------o---------o
 
−
</pre>
 
  
 
<pre>
 
<pre>
−
Permutation Substitutions in Sym {A, B, C}
+
Table A1.  Propositional Forms On Two Variables
−
o---------o---------o---------o---------o---------o---------o
+
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
−
|         |         |         |         |         |         |
+
| L_1    | L_2    | L_3    | L_4      | L_5              | L_6      |
−
|    e    |    f    |    g    |    h    |    i    |    j    |
+
|        |        |        |         |                 |         |
−
|        |        |        |         |         |         |
+
| Decimal | Binary | Vector | Cactus  | English          | Ordinary |
−
o=========o=========o=========o=========o=========o=========o
+
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
−
|         |        |        |        |        |        |
+
|        |      x : 1 1 0 0 |          |                  |          |
−
| A B C | A B C | A B C  | A B C  |  A B C  |  A B C  |
+
|        |      y : 1 0 1 0 |          |                  |          |
−
|        |        |        |        |        |         |
+
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
−
|  | | |  |  | | |  |  | | |  |  | | |  |  | | |  |  | | |  |
+
|        |        |        |         |                 |         |
−
|  v v v  |  v v v  |  v v v  |  v v v  |  v v v  |  v v v  |
+
| f_0    | f_0000  | 0 0 0 0 |    ()   | false            |    0    |
−
|        |        |        |        |        |        |
+
|        |        |        |         |                 |         |
−
|  A B C  |  C A B  |  B C A  |  A C B  |  C B A  |  B A C  |
+
| f_1    | f_0001  | 0 0 0 1 |  (x)(y)  | neither x nor y  | ~x & ~y  |
−
|        |        |        |        |        |        |
+
|        |        |        |         |                 |         |
−
o---------o---------o---------o---------o---------o---------o
+
| f_2    | f_0010 | 0 0 1 0 |  (x) y  | y and not x      | ~x &  y |
−
</pre>
+
|        |        |        |          |                  |          |
−
 
+
| f_3    | f_0011 | 0 0 1 1 | (x)    | not x            | ~x      |
−
<pre>
+
|         |        |        |          |                  |          |
−
Matrix Representations of Permutations in Sym(3)
+
| f_4    | f_0100 | 0 1 0 0 |  x (y) | x and not y      |  x & ~y |
−
o---------o---------o---------o---------o---------o---------o
+
|        |        |        |          |                  |          |
−
|        |        |        |         |         |         |
+
| f_5    | f_0101 | 0 1 0 1 |    (y) | not y            |      ~y |
−
|   e    |   f    |   g    |    h   |   i    |    j    |
+
|        |        |        |          |                  |          |
−
|        |        |        |         |         |         |
+
| f_6    | f_0110  | 0 1 1 0 |  (x, y)  | x not equal to y |  x +  y |
−
o=========o=========o=========o=========o=========o=========o
+
|         |        |        |          |                  |          |
−
|        |        |        |         |         |         |
+
| f_7    | f_0111 | 0 1 1 1 |  (x  y)  | not both x and y | ~x v ~y |
−
|  1 0 0 |  0 0 1  |  0 1 0  |  1 0 0 |  0 0 1  |  0 1 0  |
+
|        |        |        |          |                  |          |
−
|  0 1 0 |  1 0 0  |  0 0 1 |  0 0 1  | 0 1 0 |  1 0 0  |
+
| f_8    | f_1000 | 1 0 0 0 |  x y  | x and y          |  x &  y |
−
|  0 0 1  |  0 1 0 |  1 0 0  |  0 1 0 |  1 0 0 | 0 0 1 |
+
|        |        |        |          |                  |          |
−
|        |        |        |        |        |        |
+
| f_9    | f_1001 | 1 0 0 1 | ((x, y)) | x equal to y    | x = y |
−
o---------o---------o---------o---------o---------o---------o
+
|        |        |        |          |                  |          |
 +
| f_10    | f_1010 | 1 0 1 0 |      y  | y                |      y |
 +
|         |        |        |          |                  |          |
 +
| f_11    | f_1011 | 1 0 1 1 |  (x (y)) | not x without y |  x => y |
 +
|        |        |        |          |                  |          |
 +
| f_12    | f_1100 | 1 1 0 0 |  x      | x                | x      |
 +
|        |        |        |          |                 |          |
 +
| f_13    | f_1101 | 1 1 0 1 | ((x) y)  | not y without x |  x <= y  |
 +
|        |        |        |          |                  |          |
 +
| f_14    | f_1110  | 1 1 1 0 | ((x)(y)) | x or y          | x v y |
 +
|        |        |        |          |                  |          |
 +
| f_15    | f_1111  | 1 1 1 1 |  (())  | true            |    1    |
 +
|        |        |        |          |                  |          |
 +
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
 
</pre>
 
</pre>
  
 
<pre>
 
<pre>
−
Symmetric Group S_3
+
Table A2.  Propositional Forms On Two Variables
−
o-------------------------------------------------o
+
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
−
|                                                 |
+
| L_1    | L_2    | L_3    | L_4      | L_5              | L_6      |
−
|                       ^                        |
+
|         |         |        |         |                 |         |
−
|                     e / \ e                    |
+
| Decimal | Binary | Vector | Cactus  | English          | Ordinary |
−
|                     /  \                      |
+
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
−
|                     / e \                    |
+
|        |      x : 1 1 0 0 |          |                  |          |
−
|                  f / \  / \ f                 |
+
|        |      y : 1 0 1 0 |          |                 |          |
−
|                   /  \ /  \                  |
+
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
−
|                 / f  \  f  \                 |
+
|        |        |        |          |                  |         |
−
|               g / \  / \  / \ g              |
+
| f_0    | f_0000 | 0 0 0 0 |    ()    | false            |    0    |
−
|               /  \ /  \ /  \                |
+
|        |        |        |          |                 |          |
−
|               / g \ g \ g  \              |
+
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
−
|           h / \  / \  / \  / \ h            |
+
|        |        |         |          |                 |         |
−
|             /  \ /  \ /  \ /  \            |
+
| f_1    | f_0001 | 0 0 0 1 | (x)(y) | neither x nor y | ~x & ~y |
−
|           / h \ e \ e \ h \            |
+
|         |        |        |          |                 |         |
−
|        i / \  / \  / \  / \  / \ i         |
+
| f_2    | f_0010 | 0 0 1 0 | (x) y  | y and not x      | ~x & y |
−
|          /  \ /  \ /  \ /  \ /  \         |
+
|        |        |        |          |                  |          |
−
|         / i \ i \ f \ j  \  i  \         |
+
| f_4    | f_0100 | 0 1 0 0 |  x (y) | x and not y      | x & ~y |
−
|     j / \  / \  / \  / \   / \  / \ j     |
+
|        |         |         |          |                  |         |
−
|       /  \ /  \ /  \ /  \ /  \ /  \      |
+
| f_8    | f_1000 | 1 0 0 0 |  x y  | x and y          | x & y |
−
|     ( j \ j \ j \ i \ h \ j )     |
+
|        |        |        |          |                  |          |
−
|       \   / \  / \  / \  / \  / \  /       |
+
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
−
|       \ /  \ /  \ /  \ /  \ /  \ /        |
+
|        |        |        |          |                  |          |
−
|        \ h \ h \ e  \  j  \  i  /         |
+
| f_3    | f_0011 | 0 0 1 1 | (x)    | not x            | ~x      |
−
|          \  / \  / \  / \  / \  /         |
+
|        |        |         |          |                  |          |
−
|           \ /  \ /  \ /  \ /  \ /          |
+
| f_12    | f_1100  | 1 1 0 0 |   x     | x                |  x      |
−
|           \ i \ g  \  f  \  h /            |
+
|        |        |        |          |                  |          |
−
|             \  / \  / \  / \  /            |
+
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
−
|             \ /  \ /  \ /  \ /              |
+
|         |        |        |          |                  |          |
−
|               \ f \ e \  g /              |
+
| f_6    | f_0110 | 0 1 1 0 | (x, y) | x not equal to y | x + y |
−
|               \  / \  / \  /                |
+
|        |        |        |          |                  |          |
−
|                 \ /  \ /  \ /                |
+
| f_9    | f_1001 | 1 0 0 1 | ((x, y)) | x equal to y    | x = y |
−
|                 \ g \ f /                 |
+
|        |        |        |          |                  |          |
−
|                   \  / \  /                  |
+
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
−
|                   \ /  \ /                    |
+
|        |        |        |          |                  |          |
−
|                     \ e  /                    |
+
| f_5    | f_0101 | 0 1 0 1 |    (y) | not y            |     ~y  |
−
|                     \   /                      |
+
|         |        |        |          |                  |          |
−
|                       \ /                      |
+
| f_10    | f_1010  | 1 0 1 0 |      y   | y                |       y  |
−
|                       v                        |
+
|         |        |        |          |                  |          |
−
|                                                 |
+
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
−
o-------------------------------------------------o
+
|        |        |        |          |                  |          |
−
</pre>
+
| f_7    | f_0111 | 0 1 1 1 | (x y) | not both x and y | ~x v ~y |
−
 
+
|        |         |         |          |                  |         |
−
===Wiki Tables : New Versions===
+
| f_11    | f_1011  | 1 0 1 1 |  (x (y)) | not x without y | x => y |
−
 
+
|         |        |        |          |                 |         |
−
====Propositional Forms on Two Variables====
+
| f_13    | f_1101 | 1 1 0 1 | ((x) y) | not y without x | x <= y |
−
 
+
|         |        |        |          |                 |         |
−
<br>
+
| f_14    | f_1110 | 1 1 1 0 | ((x)(y)) | x or y          | x v y |
 +
|        |        |        |          |                 |         |
 +
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
 +
|         |        |        |          |                 |         |
 +
| f_15    | f_1111 | 1 1 1 1 |  (())  | true            |    1    |
 +
|         |        |         |         |                 |         |
 +
o---------o---------o---------o----------o------------------o----------o
 +
</pre>
  
−
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:#f8f8ff; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
<pre>
−
|+ '''Table A1.&nbsp; Propositional Forms on Two Variables'''
+
Table A3.  Ef Expanded Over Differential Features {dx, dy}
−
|- style="background:#f0f0ff"
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
! width="15%" | L<sub>1</sub>
+
|     |            |            |            |            |            |
−
! width="15%" | L<sub>2</sub>
+
|     |    f      |  T_11 f  |  T_10 f  |  T_01 f  |  T_00 f  |
−
! width="15%" | L<sub>3</sub>
+
|     |            |            |            |            |            |
−
! width="15%" | L<sub>4</sub>
+
|     |            | Ef| dx dy  | Ef| dx(dy) | Ef| (dx)dy | Ef|(dx)(dy)|
−
! width="25%" | L<sub>5</sub>
+
|     |            |            |            |           |           |
−
! width="15%" | L<sub>6</sub>
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
|- style="background:#f0f0ff"
+
|     |            |            |            |            |            |
−
| &nbsp;
+
| f_0  |    ()    |    ()    |    ()    |    ()    |    ()    |
−
| align="right" | x :
+
|     |            |            |            |           |           |
−
| 1 1 0 0
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
| &nbsp;
+
|     |            |            |            |            |            |
−
| &nbsp;
+
| f_1  |  (x)(y)  |    x  y    |   x (y)  |  (x) y    |  (x)(y)  |
−
| &nbsp;
+
|     |            |            |            |            |           |
−
|- style="background:#f0f0ff"
+
| f_2  |   (x) y    |   x (y)  |   x  y    |   (x)(y)  |   (x) y    |
−
| &nbsp;
+
|     |            |            |            |            |           |
−
| align="right" | y :
+
| f_4  |   x (y)  |   (x) y    |   (x)(y)   |   x y   |   x (y)  |
−
| 1 0 1 0
+
|     |            |            |            |            |            |
−
| &nbsp;
+
| f_8  |   x  y    |   (x)(y)  |   (x) y   |    x (y)  |   x y   |
−
| &nbsp;
+
|     |            |            |            |            |            |
−
| &nbsp;
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
|-
+
|     |            |            |            |            |            |
−
| f<sub>0</sub>
+
| f_3  |  (x)      |    x      |    x      |  (x)      |  (x)      |
−
| f<sub>0000</sub>
+
|     |            |            |            |            |            |
−
| 0 0 0 0
+
| f_12 |    x      |  (x)     |  (x)      |   x       |   x       |
−
| (&nbsp;)
+
|     |            |            |            |            |            |
−
| false
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
| 0
+
|     |            |            |            |            |            |
−
|-
+
| f_6  |  (x, y)  |  (x, y)  |  ((x, y))  |  ((x, y))  |  (x, y)  |
−
| f<sub>1</sub>
+
|     |            |            |            |            |            |
−
| f<sub>0001</sub>
+
| f_9  |  ((x, y))  |  ((x, y))  |  (x, y)   |   (x, y)  | ((x, y))  |
−
| 0 0 0 1
+
|     |            |            |            |            |            |
−
| (x)(y)
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
| neither x nor y
+
|     |            |            |            |            |            |
−
| &not;x &and; &not;y
+
| f_5  |      (y)  |      y    |      (y)  |      y    |      (y)  |
−
|-
+
|     |            |            |            |            |            |
−
| f<sub>2</sub>
+
| f_10 |      y    |      (y)   |      y    |     (y)  |       y   |
−
| f<sub>0010</sub>
+
|     |            |            |            |            |            |
−
| 0 0 1 0
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
| (x) y
+
|     |            |            |            |            |            |
−
| y and not x
+
| f_7  |  (x  y)  | ((x)(y))  | ((x) y)   |   (x (y))  |   (x y)  |
−
| &not;x &and; y
+
|     |            |            |            |            |            |
−
|-
+
| f_11 |   (x (y))  | ((x) y)  | ((x)(y))  |   (x y)  |   (x (y))  |
−
| f<sub>3</sub>
+
|     |            |            |            |            |            |
−
| f<sub>0011</sub>
+
| f_13 | ((x) y)  |   (x (y))  |   (x y)  | ((x)(y))  | ((x) y)  |
−
| 0 0 1 1
+
|     |            |            |            |            |            |
−
| (x)
+
| f_14 | ((x)(y))  |   (x  y)  |  (x (y)) | ((x) y)  | ((x)(y))  |
−
| not x
+
|     |            |            |            |            |            |
−
| &not;x
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
|-
+
|      |            |            |            |            |            |
−
| f<sub>4</sub>
+
| f_15 |    (())    |    (())    |    (())    |    (())    |    (())    |
−
| f<sub>0100</sub>
+
|      |            |            |            |            |            |
−
| 0 1 0 0
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
| x (y)
+
|                  |            |            |            |            |
−
| x and not y
+
| Fixed Point Total |      4    |      4    |      4    |    16    |
−
| x &and; &not;y
+
|                  |            |            |            |            |
−
|-
+
o-------------------o------------o------------o------------o------------o
−
| f<sub>5</sub>
+
</pre>
−
| f<sub>0101</sub>
+
 
−
| 0 1 0 1
+
<pre>
−
| (y)
+
Table A4.  Df Expanded Over Differential Features {dx, dy}
−
| not y
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
| &not;y
+
|      |            |            |            |            |            |
−
|-
+
|      |     f     | Df| dx dy  | Df| dx(dy) | Df| (dx)dy | Df|(dx)(dy)|
−
| f<sub>6</sub>
+
|     |            |            |            |            |            |
−
| f<sub>0110</sub>
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
| 0 1 1 0
+
|      |            |            |            |            |            |
−
| (x, y)
+
| f_0  |    ()    |    ()    |    ()    |    ()    |    ()    |
−
| x not equal to y
+
|     |            |            |            |            |            |
−
| x &ne; y
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
|-
+
|     |            |            |            |            |            |
−
| f<sub>7</sub>
+
| f_1  |  (x)(y)  |  ((x, y))  |    (y)    |    (x)    |    ()    |
−
| f<sub>0111</sub>
+
|     |            |            |            |            |            |
−
| 0 1 1 1
+
| f_2  |  (x) y    |  (x, y)  |    y     |    (x)     |    ()     |
−
| (x&nbsp;y)
+
|      |            |            |            |            |            |
−
| not both x and y
+
| f_4  |    x (y)  |  (x, y)  |    (y)    |    x      |    ()    |
−
| &not;x &or; &not;y
+
|      |            |            |            |            |            |
−
|-
+
| f_8  |    x y   |  ((x, y))  |    y      |    x      |    ()    |
−
| f<sub>8</sub>
+
|     |            |            |            |            |            |
−
| f<sub>1000</sub>
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
| 1 0 0 0
+
|     |            |            |            |            |            |
−
| x&nbsp;y
+
| f_3  |  (x)      |    (())    |    (())    |    ()    |    ()    |
−
| x and y
+
|     |            |            |            |            |            |
−
| x &and; y
+
| f_12 |    x       |    (())    |    (())    |    ()    |    ()    |
−
|-
+
|      |            |            |            |            |            |
−
| f<sub>9</sub>
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
| f<sub>1001</sub>
+
|      |            |            |            |            |            |
−
| 1 0 0 1
+
| f_6  |  (x, y)  |    ()    |    (())    |    (())    |    ()    |
−
| ((x, y))
+
|      |            |            |            |            |            |
−
| x equal to y
+
| f_9  |  ((x, y))  |    ()    |    (())    |    (())    |    ()    |
−
| x = y
+
|     |            |            |            |            |            |
−
|-
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
| f<sub>10</sub>
+
|     |            |            |            |            |            |
−
| f<sub>1010</sub>
+
| f_5  |      (y)  |    (())    |    ()    |    (())    |    ()    |
−
| 1 0 1 0
+
|     |            |            |            |            |            |
−
| y
+
| f_10 |      y    |    (())    |    ()    |    (())    |    ()    |
−
| y
+
|      |            |            |            |            |            |
−
| y
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
|-
+
|      |            |            |            |            |            |
−
| f<sub>11</sub>
+
| f_7  |  (x y)   |  ((x, y))  |     y     |    x     |    ()    |
−
| f<sub>1011</sub>
+
|      |            |            |            |            |            |
−
| 1 0 1 1
+
| f_11 |  (x (y))  |  (x, y)  |    (y)    |    x      |    ()    |
−
| (x (y))
+
|     |            |            |            |            |            |
−
| not x without y
+
| f_13 |  ((x) y)  |  (x, y)  |    y      |    (x)    |    ()    |
−
| x &rArr; y
+
|     |            |            |            |            |            |
−
|-
+
| f_14 | ((x)(y)) | ((x, y))  |    (y)    |   (x)    |    ()    |
−
| f<sub>12</sub>
+
|     |            |            |            |            |            |
−
| f<sub>1100</sub>
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
| 1 1 0 0
+
|     |            |            |            |            |            |
−
| x
+
| f_15 |   (())    |     ()    |    ()     |    ()     |    ()    |
−
| x
+
|     |            |            |           |           |            |
−
| x
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
|-
+
</pre>
−
| f<sub>13</sub>
 
−
| f<sub>1101</sub>
 
−
| 1 1 0 1
 
−
| ((x) y)
 
−
| not y without x
 
−
| x &lArr; y
 
−
|-
 
−
| f<sub>14</sub>
 
−
| f<sub>1110</sub>
 
−
| 1 1 1 0
 
−
| ((x)(y))
 
−
| x or y
 
−
| x &or; y
 
−
|-
 
−
| f<sub>15</sub>
 
−
| f<sub>1111</sub>
 
−
| 1 1 1 1
 
−
| ((&nbsp;))
 
−
| true || 1
 
−
|}
 
  
−
<br>
+
<pre>
−
 
+
Table A5.  Ef Expanded Over Ordinary Features {x, y}
−
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:#f8f8ff; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
|+ '''Table A2.&nbsp; Propositional Forms on Two Variables'''
+
|     |           |           |            |            |            |
−
|- style="background:#f0f0ff"
+
|     |     f     |  Ef | xy  | Ef | x(y) | Ef | (x)y  | Ef | (x)(y)|
−
! width="15%" | L<sub>1</sub>
+
|     |            |            |            |            |           |
−
! width="15%" | L<sub>2</sub>
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
! width="15%" | L<sub>3</sub>
+
|     |            |            |            |            |           |
−
! width="15%" | L<sub>4</sub>
+
| f_0  |    ()    |    ()    |    ()    |    ()    |    ()    |
−
! width="25%" | L<sub>5</sub>
+
|     |            |            |            |            |            |
−
! width="15%" | L<sub>6</sub>
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
|- style="background:#f0f0ff"
+
|      |            |            |            |            |            |
−
| &nbsp;
+
| f_1  |  (x)(y)   |  dx  dy  |  dx (dy)  |  (dx) dy  |  (dx)(dy)  |
−
| align="right" | x :
+
|     |            |           |           |           |           |
−
| 1 1 0 0
+
| f_2  |  (x) y    |  dx (dy)  |  dx  dy  |  (dx)(dy)  |  (dx) dy  |
−
| &nbsp;
+
|      |            |            |            |            |            |
−
| &nbsp;
+
| f_4  |    x (y)  |  (dx) dy  |  (dx)(dy)  |  dx  dy  |  dx (dy)  |
−
| &nbsp;
+
|      |            |            |            |            |            |
−
|- style="background:#f0f0ff"
+
| f_8  |    x y   | (dx)(dy)  | (dx) dy  |   dx (dy)  |   dx  dy  |
−
| &nbsp;
+
|     |           |           |           |           |           |
−
| align="right" | y :
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
| 1 0 1 0
+
|     |            |           |           |           |           |
−
| &nbsp;
+
| f_3  |   (x)      |  dx      |  dx      |  (dx)      |  (dx)      |
−
| &nbsp;
+
|     |            |            |            |            |            |
−
| &nbsp;
+
| f_12 |   x      | (dx)      |  (dx)      |  dx      |  dx      |
−
|-
+
|     |           |           |           |           |           |
−
| f<sub>0</sub>
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
| f<sub>0000</sub>
+
|      |            |            |            |            |            |
−
| 0 0 0 0
+
| f_6  |  (x, y)   |  (dx, dy) | ((dx, dy)) | ((dx, dy)) |  (dx, dy)  |
−
| (&nbsp;)
+
|     |            |            |            |            |            |
−
| false
+
| f_9  | ((x, y))  | ((dx, dy)) | (dx, dy)  | (dx, dy)  | ((dx, dy)) |
−
| 0
+
|     |           |           |           |           |           |
−
|-
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
|
+
|     |            |            |           |           |           |
−
{| align="center"
+
| f_5  |     (y)  |      dy  |      (dy)  |      dy  |      (dy)  |
−
|
+
|     |            |            |            |            |           |
−
<p>f<sub>1</sub></p>
+
| f_10 |      y    |      (dy)  |      dy  |      (dy)  |      dy  |
−
<p>f<sub>2</sub></p>
+
|      |            |            |            |            |            |
−
<p>f<sub>4</sub></p>
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
<p>f<sub>8</sub></p>
+
|      |            |            |            |            |            |
−
|}
+
| f_7  |  (x  y)  | ((dx)(dy)) | ((dx) dy)  |  (dx (dy)) |  (dx  dy)  |
−
|
+
|     |            |            |            |            |            |
−
{| align="center"
+
| f_11 |  (x (y))  | ((dx) dy)  | ((dx)(dy)) |  (dx  dy)  |  (dx (dy)) |
−
|
+
|     |            |            |            |            |            |
−
<p>f<sub>0001</sub></p>
+
| f_13 | ((x) y)   |  (dx (dy)) |  (dx  dy) | ((dx)(dy)) | ((dx) dy)  |
−
<p>f<sub>0010</sub></p>
+
|     |            |            |            |            |            |
−
<p>f<sub>0100</sub></p>
+
| f_14 | ((x)(y))  |  (dx  dy)  | (dx (dy)) | ((dx) dy)  | ((dx)(dy)) |
−
<p>f<sub>1000</sub></p>
+
|     |            |            |            |            |            |
−
|}
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
|
+
|      |            |            |            |            |            |
−
{| align="center"
+
| f_15 |    (())    |    (())    |    (())    |    (())    |    (())    |
−
|
+
|      |            |            |            |            |            |
−
<p>0 0 0 1</p>
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
<p>0 0 1 0</p>
+
</pre>
−
<p>0 1 0 0</p>
+
 
−
<p>1 0 0 0</p>
+
<pre>
−
|}
+
Table A6.  Df Expanded Over Ordinary Features {x, y}
−
|
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
{| align="center"
+
|      |            |            |            |            |            |
−
|
+
|      |    f      |  Df | xy  | Df | x(y)  | Df | (x)y  | Df | (x)(y)|
−
<p>(x)(y)</p>
+
|      |            |            |            |            |            |
−
<p>(x) y </p>
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
<p> x (y)</p>
+
|      |            |            |            |            |            |
−
<p> x y </p>
+
| f_0  |    ()    |    ()    |    ()    |    ()    |    ()    |
−
|}
+
|      |            |            |            |            |            |
−
|
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
{| align="center"
+
|      |            |            |            |            |            |
−
|
+
| f_1  |  (x)(y)  |  dx  dy  |  dx (dy)  |  (dx) dy  | ((dx)(dy)) |
−
<p>neither x nor y</p>
+
|      |            |            |            |            |            |
−
<p>not x but y</p>
+
| f_2  |  (x) y    |  dx (dy)  |  dx  dy  | ((dx)(dy)) |  (dx) dy  |
−
<p>x but not y</p>
+
|      |            |            |            |            |            |
−
<p>x and y</p>
+
| f_4  |    x (y)  |  (dx) dy  | ((dx)(dy)) |  dx  dy  |  dx (dy)  |
−
|}
+
|      |            |            |            |            |            |
−
|
+
| f_8  |    x  y    | ((dx)(dy)) |  (dx) dy  |  dx (dy)  |  dx  dy  |
−
{| align="center"
+
|      |            |            |            |            |            |
−
|
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
<p>&not;x &and; &not;y</p>
+
|      |            |            |            |            |            |
−
<p>&not;x &and; y</p>
+
| f_3  |  (x)      |  dx      |  dx      |  dx      |  dx      |
−
<p>x &and; &not;y</p>
+
|      |            |            |            |            |            |
−
<p>x &and; y</p>
+
| f_12 |    x      |  dx      |  dx      |  dx      |  dx      |
−
|}
+
|      |            |            |            |            |            |
−
|-
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
|
+
|      |            |            |            |            |            |
−
{| align="center"
+
| f_6  |  (x, y)  |  (dx, dy)  |  (dx, dy)  |  (dx, dy)  |  (dx, dy)  |
−
|
+
|      |            |            |            |            |            |
−
<p>f<sub>3</sub></p>
+
| f_9  |  ((x, y))  |  (dx, dy)  |  (dx, dy)  |  (dx, dy)  |  (dx, dy)  |
−
<p>f<sub>12</sub></p>
+
|      |            |            |            |            |            |
−
|}
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
|
+
|      |            |            |            |            |            |
−
{| align="center"
+
| f_5  |      (y)  |      dy  |      dy  |      dy  |      dy  |
−
|
+
|      |            |            |            |            |            |
−
<p>f<sub>0011</sub></p>
+
| f_10 |      y    |      dy  |      dy  |      dy  |      dy  |
−
<p>f<sub>1100</sub></p>
+
|      |            |            |            |            |            |
−
|}
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
|
+
|      |            |            |            |            |            |
−
{| align="center"
+
| f_7  |  (x  y)  | ((dx)(dy)) |  (dx) dy  |  dx (dy)  |  dx  dy  |
−
|
+
|      |            |            |            |            |            |
−
<p>0 0 1 1</p>
+
| f_11 |  (x (y))  |  (dx) dy  | ((dx)(dy)) |  dx  dy  |  dx (dy)  |
−
<p>1 1 0 0</p>
+
|      |            |            |            |            |            |
−
|}
+
| f_13 |  ((x) y)  |  dx (dy)  |  dx  dy  | ((dx)(dy)) |  (dx) dy  |
−
|
+
|      |            |            |            |            |            |
−
{| align="center"
+
| f_14 |  ((x)(y))  |  dx  dy  |  dx (dy)  |  (dx) dy  | ((dx)(dy)) |
−
|
+
|      |            |            |            |            |            |
−
<p>(x)</p>
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
<p> x </p>
+
|      |            |            |            |            |            |
−
|}
+
| f_15 |    (())    |    ()    |    ()    |    ()    |    ()    |
−
|
+
|      |            |            |            |            |            |
−
{| align="center"
+
o------o------------o------------o------------o------------o------------o
−
|
+
</pre>
−
<p>not x</p>
+
 
−
<p>x</p>
+
<pre>
−
|}
+
o----------o----------o----------o----------o----------o
−
|
+
|          %          |          |          |          |
−
{| align="center"
+
|    ·    %  T_00  |  T_01  |  T_10  |  T_11  |
−
|
+
|          %          |          |          |          |
−
<p>&not;x</p>
+
o==========o==========o==========o==========o==========o
−
<p>x</p>
+
|          %          |          |          |          |
−
|}
+
|  T_00  %  T_00  |  T_01  |  T_10  |  T_11  |
−
|-
+
|          %          |          |          |          |
−
|
+
o----------o----------o----------o----------o----------o
−
{| align="center"
+
|          %          |          |          |          |
−
|
+
|  T_01  %  T_01  |  T_00  |  T_11  |  T_10  |
−
<p>f<sub>6</sub></p>
+
|          %          |          |          |          |
−
<p>f<sub>9</sub></p>
+
o----------o----------o----------o----------o----------o
−
|}
+
|          %          |          |          |          |
−
|
+
|  T_10  %  T_10  |  T_11  |  T_00  |  T_01  |
−
{| align="center"
+
|          %          |          |          |          |
−
|
+
o----------o----------o----------o----------o----------o
−
<p>f<sub>0110</sub></p>
+
|          %          |          |          |          |
−
<p>f<sub>1001</sub></p>
+
|  T_11  %  T_11  |  T_10  |  T_01  |  T_00  |
−
|}
+
|          %          |          |          |          |
−
|
+
o----------o----------o----------o----------o----------o
−
{| align="center"
+
</pre>
−
|
+
 
−
<p>0 1 1 0</p>
+
<pre>
−
<p>1 0 0 1</p>
+
o---------o---------o---------o---------o---------o
−
|}
+
|        %        |        |        |        |
−
|
+
|    ·    %    e    |    f    |    g    |    h    |
−
{| align="center"
+
|        %        |        |        |        |
−
|
+
o=========o=========o=========o=========o=========o
−
<p> (x, y) </p>
+
|        %        |        |        |        |
−
<p>((x, y))</p>
+
|    e    %    e    |    f    |    g    |    h    |
−
|}
+
|        %        |        |        |        |
−
|
+
o---------o---------o---------o---------o---------o
−
{| align="center"
+
|        %        |        |        |        |
−
|
+
|    f    %    f    |    e    |    h    |    g    |
−
<p>x not equal to y</p>
+
|        %        |        |        |        |
−
<p>x equal to y</p>
+
o---------o---------o---------o---------o---------o
−
|}
+
|        %        |        |        |        |
−
|
+
|    g    %    g    |    h    |    e    |    f    |
−
{| align="center"
+
|        %        |        |        |        |
−
|
+
o---------o---------o---------o---------o---------o
−
<p>x &ne; y</p>
+
|        %        |        |        |        |
−
<p>x = y</p>
+
|    h    %    h    |    g    |    f    |    e    |
−
|}
+
|        %        |        |        |        |
−
|-
+
o---------o---------o---------o---------o---------o
−
|
+
</pre>
−
{| align="center"
+
 
−
|
+
<pre>
−
<p>f<sub>5</sub></p>
+
Permutation Substitutions in Sym {A, B, C}
−
<p>f<sub>10</sub></p>
+
o---------o---------o---------o---------o---------o---------o
−
|}
+
|        |        |        |        |        |        |
−
|
+
|    e    |    f    |    g    |    h    |    i    |    j    |
−
{| align="center"
+
|        |        |        |        |        |        |
−
|
+
o=========o=========o=========o=========o=========o=========o
−
<p>f<sub>0101</sub></p>
+
|        |        |        |        |        |        |
−
<p>f<sub>1010</sub></p>
+
|  A B C  |  A B C  |  A B C  |  A B C  |  A B C  |  A B C  |
−
|}
+
|        |        |        |        |        |        |
−
|
+
|  | | |  |  | | |  |  | | |  |  | | |  |  | | |  |  | | |  |
−
{| align="center"
+
|  v v v  |  v v v  |  v v v  |  v v v  |  v v v  |  v v v  |
−
|
+
|        |        |        |        |        |        |
−
<p>0 1 0 1</p>
+
|  A B C  |  C A B  |  B C A  |  A C B  |  C B A  |  B A C  |
−
<p>1 0 1 0</p>
+
|        |        |        |        |        |        |
−
|}
+
o---------o---------o---------o---------o---------o---------o
−
|
+
</pre>
−
{| align="center"
+
 
−
|
+
<pre>
−
<p>(y)</p>
+
Matrix Representations of Permutations in Sym(3)
−
<p> y </p>
+
o---------o---------o---------o---------o---------o---------o
−
|}
+
|        |        |        |        |        |        |
−
|
+
|    e    |    f    |    g    |    h    |    i    |    j    |
−
{| align="center"
+
|        |        |        |        |        |        |
−
|
+
o=========o=========o=========o=========o=========o=========o
−
<p>not y</p>
+
|        |        |        |        |        |        |
−
<p>y</p>
+
|  1 0 0  |  0 0 1  |  0 1 0  |  1 0 0  |  0 0 1  |  0 1 0  |
−
|}
+
|  0 1 0  |  1 0 0  |  0 0 1  |  0 0 1  |  0 1 0  |  1 0 0  |
−
|
+
|  0 0 1  |  0 1 0  |  1 0 0  |  0 1 0  |  1 0 0  |  0 0 1  |
−
{| align="center"
+
|        |        |        |        |        |        |
−
|
+
o---------o---------o---------o---------o---------o---------o
−
<p>&not;y</p>
+
</pre>
−
<p>y</p>
+
 
−
|}
+
<pre>
−
|-
+
Symmetric Group S_3
−
|
+
o-------------------------------------------------o
−
{| align="center"
+
|                                                |
−
|
+
|                        ^                        |
−
<p>f<sub>7</sub></p>
+
|                    e / \ e                    |
−
<p>f<sub>11</sub></p>
+
|                      /  \                      |
−
<p>f<sub>13</sub></p>
+
|                    /  e  \                    |
−
<p>f<sub>14</sub></p>
+
|                  f / \  / \ f                  |
−
|}
+
|                  /  \ /  \                  |
−
|
+
|                  /  f  \  f  \                  |
−
{| align="center"
+
|              g / \  / \  / \ g              |
−
|
+
|                /  \ /  \ /  \                |
−
<p>f<sub>0111</sub></p>
+
|              /  g  \  g  \  g  \              |
−
<p>f<sub>1011</sub></p>
+
|            h / \  / \  / \  / \ h            |
−
<p>f<sub>1101</sub></p>
+
|            /  \ /  \ /  \ /  \            |
−
<p>f<sub>1110</sub></p>
+
|            /  h  \  e  \  e  \  h  \            |
−
|}
+
|        i / \  / \  / \  / \  / \ i        |
−
|
+
|          /  \ /  \ /  \ /  \ /  \          |
−
{| align="center"
+
|        /  i  \  i  \  f  \  j  \  i  \        |
−
|
+
|      j / \  / \  / \  / \  / \  / \ j      |
−
<p>0 1 1 1</p>
+
|      /  \ /  \ /  \ /  \ /  \ /  \      |
−
<p>1 0 1 1</p>
+
|      (  j  \  j  \  j  \  i  \  h  \  j  )      |
−
<p>1 1 0 1</p>
+
|      \  / \  / \  / \  / \  / \  /      |
−
<p>1 1 1 0</p>
+
|        \ /  \ /  \ /  \ /  \ /  \ /        |
−
|}
+
|        \  h  \  h  \  e  \  j  \  i  /        |
−
|
+
|          \  / \  / \  / \  / \  /          |
−
{| align="center"
+
|          \ /  \ /  \ /  \ /  \ /          |
−
|
+
|            \  i  \  g  \  f  \  h  /            |
−
<p>(x y)</p>
+
|            \  / \  / \  / \  /            |
−
<p>(x (y))</p>
+
|              \ /  \ /  \ /  \ /              |
−
<p>((x) y)</p>
+
|              \  f  \  e  \  g  /              |
−
<p>((x)(y))</p>
+
|                \  / \  / \  /                |
−
|}
+
|                \ /  \ /  \ /                |
−
|
+
|                  \  g  \  f  /                  |
−
{| align="center"
+
|                  \  / \  /                  |
−
|
+
|                    \ /  \ /                    |
−
<p>not both x and y</p>
+
|                    \  e  /                    |
−
<p>not x without y</p>
+
|                      \  /                      |
−
<p>not y without x</p>
+
|                      \ /                      |
−
<p>x or y</p>
+
|                        v                        |
−
|}
+
|                                                |
−
|
+
o-------------------------------------------------o
−
{| align="center"
+
</pre>
−
|
 
−
<p>&not;x &or; &not;y</p>
 
−
<p>x &rArr; y</p>
 
−
<p>x &lArr; y</p>
 
−
<p>x &or; y</p>
 
−
|}
 
−
|-
 
−
| f<sub>15</sub>
 
−
| f<sub>1111</sub>
 
−
| 1 1 1 1
 
−
| ((&nbsp;))
 
−
| true
 
−
| 1
 
−
|}
 
  
−
<br>
+
===Wiki Tables : New Versions===
  
−
====Differential Propositions====
+
====Propositional Forms on Two Variables====
  
 
<br>
 
<br>
  
−
{| align="center" border="1" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:#f8f8ff; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
+
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:#f8f8ff; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
−
|+ '''Table 14.&nbsp; Differential Propositions'''
+
|+ '''Table A1.&nbsp; Propositional Forms on Two Variables'''
 +
|- style="background:#f0f0ff"
 +
! width="15%" | L<sub>1</sub>
 +
! width="15%" | L<sub>2</sub>
 +
! width="15%" | L<sub>3</sub>
 +
! width="15%" | L<sub>4</sub>
 +
! width="25%" | L<sub>5</sub>
 +
! width="15%" | L<sub>6</sub>
 
|- style="background:#f0f0ff"
 
|- style="background:#f0f0ff"
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
−
| align="right" | A :
+
| align="right" | x :
 
| 1 1 0 0  
 
| 1 1 0 0  
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
Line 868: Line 1,229:
 
|- style="background:#f0f0ff"
 
|- style="background:#f0f0ff"
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
−
| align="right" | dA :
+
| align="right" | y :
 
| 1 0 1 0
 
| 1 0 1 0
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
Line 875: Line 1,236:
 
|-
 
|-
 
| f<sub>0</sub>
 
| f<sub>0</sub>
−
| g<sub>0</sub>
+
| f<sub>0000</sub>
 
| 0 0 0 0
 
| 0 0 0 0
 
| (&nbsp;)
 
| (&nbsp;)
−
| False
+
| false
 
| 0
 
| 0
 
|-
 
|-
−
|
+
| f<sub>1</sub>
−
{|
+
| f<sub>0001</sub>
−
|
+
| 0 0 0 1
−
&nbsp;<br>
+
| (x)(y)
−
&nbsp;<br>
+
| neither x nor y
−
&nbsp;<br>
+
| &not;x &and; &not;y
−
&nbsp;
+
|-
−
|}
+
| f<sub>2</sub>
−
|
+
| f<sub>0010</sub>
−
{|
+
| 0 0 1 0
−
|
+
| (x) y
−
g<sub>1</sub><br>
+
| y and not x
−
g<sub>2</sub><br>
+
| &not;x &and; y
−
g<sub>4</sub><br>
+
|-
−
g<sub>8</sub>
+
| f<sub>3</sub>
−
|}
+
| f<sub>0011</sub>
−
|
+
| 0 0 1 1
−
{|
+
| (x)
−
|
+
| not x
−
0 0 0 1<br>
+
| &not;x
−
0 0 1 0<br>
 
−
0 1 0 0<br>
 
−
1 0 0 0
 
−
|}
 
−
|
 
−
{|
 
−
|
 
−
(A)(dA)<br>
 
−
(A) dA <br>
 
−
A (dA)<br>
 
−
A dA
 
−
|}
 
−
|
 
−
{|
 
−
|
 
−
Neither A nor dA<br>
 
−
Not A but dA<br>
 
−
A but not dA<br>
 
−
A and dA
 
−
|}
 
−
|
 
−
{|
 
−
|
 
−
&not;A &and; &not;dA<br>
 
−
&not;A &and; dA<br>
 
−
A &and; &not;dA<br>
 
−
A &and; dA
 
−
|}
 
 
|-
 
|-
−
|
+
| f<sub>4</sub>
−
{|
+
| f<sub>0100</sub>
−
|
+
| 0 1 0 0
−
f<sub>1</sub><br>
+
| x (y)
−
f<sub>2</sub>
+
| x and not y
−
|}
+
| x &and; &not;y
−
|
+
|-
−
{|
+
| f<sub>5</sub>
−
|
+
| f<sub>0101</sub>
−
g<sub>3</sub><br>
+
| 0 1 0 1
−
g<sub>12</sub>
+
| (y)
−
|}
+
| not y
−
|
+
| &not;y
−
{|
 
−
|
 
−
0 0 1 1<br>
 
−
1 1 0 0
 
−
|}
 
−
|
 
−
{|
 
−
|
 
−
(A)<br>
 
−
A
 
−
|}
 
−
|
 
−
{|
 
−
|
 
−
Not A<br>
 
−
A
 
−
|}
 
−
|
 
−
{|
 
−
|
 
−
&not;A<br>
 
−
A
 
−
|}
 
 
|-
 
|-
−
|
+
| f<sub>6</sub>
−
{|
+
| f<sub>0110</sub>
−
|
+
| 0 1 1 0
−
&nbsp;<br>
+
| (x, y)
−
&nbsp;
+
| x not equal to y
−
|}
+
| x &ne; y
−
|
+
|-
−
{|
+
| f<sub>7</sub>
−
|
+
| f<sub>0111</sub>
−
g<sub>6</sub><br>
+
| 0 1 1 1
−
g<sub>9</sub>
+
| (x&nbsp;y)
−
|}
+
| not both x and y
−
|
+
| &not;x &or; &not;y
−
{|
+
|-
−
|
+
| f<sub>8</sub>
−
0 1 1 0<br>
+
| f<sub>1000</sub>
−
1 0 0 1
+
| 1 0 0 0
−
|}
+
| x&nbsp;y
−
|
+
| x and y
−
{|
+
| x &and; y
−
|
 
−
(A, dA)<br>
 
−
((A, dA))
 
−
|}
 
−
|
 
−
{|
 
−
|
 
−
A not equal to dA<br>
 
−
A equal to dA
 
−
|}
 
−
|
 
−
{|
 
−
|
 
−
A &ne; dA<br>
 
−
A = dA
 
−
|}
 
 
|-
 
|-
−
|
+
| f<sub>9</sub>
−
{|
+
| f<sub>1001</sub>
−
|
+
| 1 0 0 1
−
&nbsp;<br>
+
| ((x, y))
−
&nbsp;
+
| x equal to y
−
|}
+
| x = y
−
|
+
|-
−
{|
+
| f<sub>10</sub>
−
|
+
| f<sub>1010</sub>
−
g<sub>5</sub><br>
+
| 1 0 1 0
−
g<sub>10</sub>
+
| y
−
|}
+
| y
−
|
+
| y
−
{|
+
|-
−
|
+
| f<sub>11</sub>
−
0 1 0 1<br>
+
| f<sub>1011</sub>
−
1 0 1 0
+
| 1 0 1 1
−
|}
+
| (x (y))
−
|
+
| not x without y
−
{|
+
| x &rArr; y
−
|
 
−
(dA)<br>
 
−
dA
 
−
|}
 
−
|
 
−
{|
 
−
|
 
−
Not dA<br>
 
−
dA
 
−
|}
 
−
|
 
−
{|
 
−
|
 
−
&not;dA<br>
 
−
dA
 
−
|}
 
 
|-
 
|-
−
|
+
| f<sub>12</sub>
−
{|
+
| f<sub>1100</sub>
−
|
+
| 1 1 0 0
−
&nbsp;<br>
+
| x
−
&nbsp;<br>
+
| x
−
&nbsp;<br>
+
| x
−
&nbsp;
+
|-
−
|}
+
| f<sub>13</sub>
−
|
+
| f<sub>1101</sub>
−
{|
+
| 1 1 0 1
−
|
+
| ((x) y)
−
g<sub>7</sub><br>
+
| not y without x
−
g<sub>11</sub><br>
+
| x &lArr; y
−
g<sub>13</sub><br>
+
|-
−
g<sub>14</sub>
+
| f<sub>14</sub>
 +
| f<sub>1110</sub>
 +
| 1 1 1 0
 +
| ((x)(y))
 +
| x or y
 +
| x &or; y
 +
|-
 +
| f<sub>15</sub>
 +
| f<sub>1111</sub>
 +
| 1 1 1 1
 +
| ((&nbsp;))
 +
| true || 1
 
|}
 
|}
−
|
+
 
−
{|
+
<br>
−
|
+
 
−
0 1 1 1<br>
+
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:#f8f8ff; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
−
1 0 1 1<br>
+
|+ '''Table A2.&nbsp; Propositional Forms on Two Variables'''
−
1 1 0 1<br>
+
|- style="background:#f0f0ff"
−
1 1 1 0
 
−
|}
 
−
|
 
−
{|
 
−
|
 
−
(A dA)<br>
 
−
(A (dA))<br>
 
−
((A) dA)<br>
 
−
((A)(dA))
 
−
|}
 
−
|
 
−
{|
 
−
|
 
−
Not both A and dA<br>
 
−
Not A without dA<br>
 
−
Not dA without A<br>
 
−
A or dA
 
−
|}
 
−
|
 
−
{|
 
−
|
 
−
&not;A &or; &not;dA<br>
 
−
A &rArr; dA<br>
 
−
A &lArr; dA<br>
 
−
A &or; dA
 
−
|}
 
−
|-
 
−
| f<sub>3</sub>
 
−
| g<sub>15</sub>
 
−
| 1 1 1 1
 
−
| ((&nbsp;))
 
−
| True
 
−
| 1
 
−
|}
 
−
 
 
−
<br>
 
−
 
 
−
===Wiki Tables : Old Versions===
 
−
 
 
−
====Propositional Forms on Two Variables====
 
−
 
 
−
<br>
 
−
 
 
−
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
 
−
|+ '''Table 1. Propositional Forms on Two Variables'''
 
−
|- style="background:paleturquoise"
 
 
! width="15%" | L<sub>1</sub>
 
! width="15%" | L<sub>1</sub>
 
! width="15%" | L<sub>2</sub>
 
! width="15%" | L<sub>2</sub>
Line 1,115: Line 1,358:
 
! width="25%" | L<sub>5</sub>
 
! width="25%" | L<sub>5</sub>
 
! width="15%" | L<sub>6</sub>
 
! width="15%" | L<sub>6</sub>
−
|- style="background:paleturquoise"
+
|- style="background:#f0f0ff"
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
 
| align="right" | x :
 
| align="right" | x :
Line 1,122: Line 1,365:
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
−
|- style="background:paleturquoise"
+
|- style="background:#f0f0ff"
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
 
| align="right" | y :
 
| align="right" | y :
Line 1,130: Line 1,373:
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
 
|-
 
|-
−
| f<sub>0</sub> || f<sub>0000</sub> || 0 0 0 0 || (&nbsp;) || false || 0
+
| f<sub>0</sub>
−
|-
+
| f<sub>0000</sub>
−
| f<sub>1</sub> || f<sub>0001</sub> || 0 0 0 1 || (x)(y) || neither x nor y || &not;x &and; &not;y
+
| 0 0 0 0
−
|-
+
| (&nbsp;)
−
| f<sub>2</sub> || f<sub>0010</sub> || 0 0 1 0 || (x) y || y and not x || &not;x &and; y
+
| false
−
|-
+
| 0
−
| f<sub>3</sub> || f<sub>0011</sub> || 0 0 1 1 || (x) || not x || &not;x
 
−
|-
 
−
| f<sub>4</sub> || f<sub>0100</sub> || 0 1 0 0 || x (y) || x and not y || x &and; &not;y
 
−
|-
 
−
| f<sub>5</sub> || f<sub>0101</sub> || 0 1 0 1 || (y) || not y || &not;y
 
−
|-
 
−
| f<sub>6</sub> || f<sub>0110</sub> || 0 1 1 0 || (x, y) || x not equal to y || x &ne; y
 
−
|-
 
−
| f<sub>7</sub> || f<sub>0111</sub> || 0 1 1 1 || (x&nbsp;y) || not both x and y || &not;x &or; &not;y
 
−
|-
 
−
| f<sub>8</sub> || f<sub>1000</sub> || 1 0 0 0 || x&nbsp;y || x and y || x &and; y
 
−
|-
 
−
| f<sub>9</sub> || f<sub>1001</sub> || 1 0 0 1 || ((x, y)) || x equal to y || x = y
 
−
|-
 
−
| f<sub>10</sub> || f<sub>1010</sub> || 1 0 1 0 || y || y || y
 
−
|-
 
−
| f<sub>11</sub> || f<sub>1011</sub> || 1 0 1 1 || (x (y)) || not x without y || x &rarr; y
 
−
|-
 
−
| f<sub>12</sub> || f<sub>1100</sub> || 1 1 0 0 || x || x || x
 
−
|-
 
−
| f<sub>13</sub> || f<sub>1101</sub> || 1 1 0 1 || ((x) y) || not y without x || x &larr; y
 
−
|-
 
−
| f<sub>14</sub> || f<sub>1110</sub> || 1 1 1 0 || ((x)(y)) || x or y  || x &or; y
 
−
|-
 
−
| f<sub>15</sub> || f<sub>1111</sub> || 1 1 1 1 || ((&nbsp;)) || true || 1
 
−
|}
 
−
 
 
−
<br>
 
−
 
 
−
====Differential Propositions====
 
−
 
 
−
<br>
 
−
 
 
−
{| align="center" border="1" cellpadding="6" cellspacing="0" style="font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
 
−
|+ '''Table 14.  Differential Propositions'''
 
−
|- style="background:ghostwhite"
 
−
| &nbsp;
 
−
| align="right" | A :
 
−
| 1 1 0 0
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
−
|- style="background:ghostwhite"
 
−
| &nbsp;
 
−
| align="right" | dA :
 
−
| 1 0 1 0
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
−
|-
 
−
| f<sub>0</sub>
 
−
| g<sub>0</sub>
 
−
| 0 0 0 0
 
−
| (&nbsp;)
 
−
| False
 
−
| 0
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
{|
+
{| align="center"
 +
|
 +
<p>f<sub>1</sub></p>
 +
<p>f<sub>2</sub></p>
 +
<p>f<sub>4</sub></p>
 +
<p>f<sub>8</sub></p>
 +
|}
 +
|
 +
{| align="center"
 
|
 
|
−
&nbsp;<br>
+
<p>f<sub>0001</sub></p>
−
&nbsp;<br>
+
<p>f<sub>0010</sub></p>
−
&nbsp;<br>
+
<p>f<sub>0100</sub></p>
−
&nbsp;
+
<p>f<sub>1000</sub></p>
 
|}
 
|}
 
|
 
|
−
{|
+
{| align="center"
 
|
 
|
−
g<sub>1</sub><br>
+
<p>0 0 0 1</p>
−
g<sub>2</sub><br>
+
<p>0 0 1 0</p>
−
g<sub>4</sub><br>
+
<p>0 1 0 0</p>
−
g<sub>8</sub>
+
<p>1 0 0 0</p>
 
|}
 
|}
 
|
 
|
−
{|
+
{| align="center"
 
|
 
|
−
0 0 0 1<br>
+
<p>(x)(y)</p>
−
0 0 1 0<br>
+
<p>(x) y </p>
−
0 1 0 0<br>
+
<p> x (y)</p>
−
1 0 0 0
+
<p> x  y </p>
 
|}
 
|}
 
|
 
|
−
{|
+
{| align="center"
 
|
 
|
−
(A)(dA)<br>
+
<p>neither x nor y</p>
−
(A) dA <br>
+
<p>not x but y</p>
−
A (dA)<br>
+
<p>x but not y</p>
−
A dA
+
<p>x and y</p>
 
|}
 
|}
 
|
 
|
−
{|
+
{| align="center"
 
|
 
|
−
Neither A nor dA<br>
+
<p>&not;x &and; &not;y</p>
−
Not A but dA<br>
+
<p>&not;x &and; y</p>
−
A but not dA<br>
+
<p>x &and; &not;y</p>
−
A and dA
+
<p>x &and; y</p>
 
|}
 
|}
 +
|-
 
|
 
|
−
{|
+
{| align="center"
 
|
 
|
−
&not;A &and; &not;dA<br>
+
<p>f<sub>3</sub></p>
−
&not;A &and; dA<br>
+
<p>f<sub>12</sub></p>
−
A &and; &not;dA<br>
 
−
A &and; dA
 
 
|}
 
|}
−
|-
 
 
|
 
|
−
{|
+
{| align="center"
 
|
 
|
−
f<sub>1</sub><br>
+
<p>f<sub>0011</sub></p>
−
f<sub>2</sub>
+
<p>f<sub>1100</sub></p>
 
|}
 
|}
 
|
 
|
−
{|
+
{| align="center"
 
|
 
|
−
g<sub>3</sub><br>
+
<p>0 0 1 1</p>
−
g<sub>12</sub>
+
<p>1 1 0 0</p>
 
|}
 
|}
 
|
 
|
−
{|
+
{| align="center"
 
|
 
|
−
0 0 1 1<br>
+
<p>(x)</p>
−
1 1 0 0
+
<p> x </p>
 
|}
 
|}
 
|
 
|
−
{|
+
{| align="center"
 
|
 
|
−
(A)<br>
+
<p>not x</p>
−
A
+
<p>x</p>
 
|}
 
|}
 
|
 
|
−
{|
+
{| align="center"
 
|
 
|
−
Not A<br>
+
<p>&not;x</p>
−
A
+
<p>x</p>
 
|}
 
|}
 +
|-
 
|
 
|
−
{|
+
{| align="center"
 
|
 
|
−
&not;A<br>
+
<p>f<sub>6</sub></p>
−
A
+
<p>f<sub>9</sub></p>
 
|}
 
|}
−
|-
 
 
|
 
|
−
{|
+
{| align="center"
 
|
 
|
−
&nbsp;<br>
+
<p>f<sub>0110</sub></p>
−
&nbsp;
+
<p>f<sub>1001</sub></p>
 
|}
 
|}
 
|
 
|
−
{|
+
{| align="center"
 
|
 
|
−
g<sub>6</sub><br>
+
<p>0 1 1 0</p>
−
g<sub>9</sub>
+
<p>1 0 0 1</p>
 
|}
 
|}
 
|
 
|
−
{|
+
{| align="center"
 
|
 
|
−
0 1 1 0<br>
+
<p> (x, y) </p>
−
1 0 0 1
+
<p>((x, y))</p>
 
|}
 
|}
 
|
 
|
−
{|
+
{| align="center"
 
|
 
|
−
(A, dA)<br>
+
<p>x not equal to y</p>
−
((A, dA))
+
<p>x equal to y</p>
 
|}
 
|}
 
|
 
|
−
{|
+
{| align="center"
 
|
 
|
−
A not equal to dA<br>
+
<p>x &ne; y</p>
−
A equal to dA
+
<p>x = y</p>
−
|}
 
−
|
 
−
{|
 
−
|
 
−
A &ne; dA<br>
 
−
A = dA
 
 
|}
 
|}
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
{|
+
{| align="center"
 
|
 
|
−
&nbsp;<br>
+
<p>f<sub>5</sub></p>
−
&nbsp;
+
<p>f<sub>10</sub></p>
 
|}
 
|}
 
|
 
|
−
{|
+
{| align="center"
 
|
 
|
−
g<sub>5</sub><br>
+
<p>f<sub>0101</sub></p>
−
g<sub>10</sub>
+
<p>f<sub>1010</sub></p>
 
|}
 
|}
 
|
 
|
−
{|
+
{| align="center"
 
|
 
|
−
0 1 0 1<br>
+
<p>0 1 0 1</p>
−
1 0 1 0
+
<p>1 0 1 0</p>
 
|}
 
|}
 
|
 
|
−
{|
+
{| align="center"
 
|
 
|
−
(dA)<br>
+
<p>(y)</p>
−
dA
+
<p> y </p>
 
|}
 
|}
 
|
 
|
−
{|
+
{| align="center"
 
|
 
|
−
Not dA<br>
+
<p>not y</p>
−
dA
+
<p>y</p>
 
|}
 
|}
 
|
 
|
−
{|
+
{| align="center"
 
|
 
|
−
&not;dA<br>
+
<p>&not;y</p>
−
dA
+
<p>y</p>
 
|}
 
|}
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
{|
+
{| align="center"
 
|
 
|
−
&nbsp;<br>
+
<p>f<sub>7</sub></p>
−
&nbsp;<br>
+
<p>f<sub>11</sub></p>
−
&nbsp;<br>
+
<p>f<sub>13</sub></p>
−
&nbsp;
+
<p>f<sub>14</sub></p>
 
|}
 
|}
 
|
 
|
−
{|
+
{| align="center"
 
|
 
|
−
g<sub>7</sub><br>
+
<p>f<sub>0111</sub></p>
−
g<sub>11</sub><br>
+
<p>f<sub>1011</sub></p>
−
g<sub>13</sub><br>
+
<p>f<sub>1101</sub></p>
−
g<sub>14</sub>
+
<p>f<sub>1110</sub></p>
 
|}
 
|}
 
|
 
|
−
{|
+
{| align="center"
 
|
 
|
−
0 1 1 1<br>
+
<p>0 1 1 1</p>
−
1 0 1 1<br>
+
<p>1 0 1 1</p>
−
1 1 0 1<br>
+
<p>1 1 0 1</p>
−
1 1 1 0
+
<p>1 1 1 0</p>
 
|}
 
|}
 
|
 
|
−
{|
+
{| align="center"
 
|
 
|
−
(A dA)<br>
+
<p>(x y)</p>
−
(A (dA))<br>
+
<p>(x (y))</p>
−
((A) dA)<br>
+
<p>((x) y)</p>
−
((A)(dA))
+
<p>((x)(y))</p>
 
|}
 
|}
 
|
 
|
−
{|
+
{| align="center"
 
|
 
|
−
Not both A and dA<br>
+
<p>not both x and y</p>
−
Not A without dA<br>
+
<p>not x without y</p>
−
Not dA without A<br>
+
<p>not y without x</p>
−
A or dA
+
<p>x or y</p>
 
|}
 
|}
 
|
 
|
−
{|
+
{| align="center"
 
|
 
|
−
&not;A &or; &not;dA<br>
+
<p>&not;x &or; &not;y</p>
−
A &rarr; dA<br>
+
<p>x &rArr; y</p>
−
A &larr; dA<br>
+
<p>x &lArr; y</p>
−
A &or; dA
+
<p>x &or; y</p>
 
|}
 
|}
 
|-
 
|-
−
| f<sub>3</sub>
+
| f<sub>15</sub>
−
| g<sub>15</sub>
+
| f<sub>1111</sub>
 
| 1 1 1 1
 
| 1 1 1 1
 
| ((&nbsp;))
 
| ((&nbsp;))
−
| True
+
| true
 
| 1
 
| 1
 
|}
 
|}
Line 1,412: Line 1,599:
 
<br>
 
<br>
  
−
===Wiki TeX Tables : PQ===
+
====Differential Propositions====
  
 
<br>
 
<br>
  
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:#f8f8ff; text-align:center; width:90%"
+
{| align="center" border="1" cellpadding="6" cellspacing="0" style="background:#f8f8ff; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
−
|+ <math>\text{Table A1.}~~\text{Propositional Forms on Two Variables}</math>
+
|+ '''Table 14.&nbsp; Differential Propositions'''
−
|- style="background:#f0f0ff"
 
−
| width="15%" |
 
−
<p><math>\mathcal{L}_1</math></p>
 
−
<p><math>\text{Decimal}</math></p>
 
−
| width="15%" |
 
−
<p><math>\mathcal{L}_2</math></p>
 
−
<p><math>\text{Binary}</math></p>
 
−
| width="15%" |
 
−
<p><math>\mathcal{L}_3</math></p>
 
−
<p><math>\text{Vector}</math></p>
 
−
| width="15%" |
 
−
<p><math>\mathcal{L}_4</math></p>
 
−
<p><math>\text{Cactus}</math></p>
 
−
| width="25%" |
 
−
<p><math>\mathcal{L}_5</math></p>
 
−
<p><math>\text{English}</math></p>
 
−
| width="15%" |
 
−
<p><math>\mathcal{L}_6</math></p>
 
−
<p><math>\text{Ordinary}</math></p>
 
 
|- style="background:#f0f0ff"
 
|- style="background:#f0f0ff"
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
−
| align="right" | <math>p\colon\!</math>
+
| align="right" | A :
−
| <math>1~1~0~0\!</math>
+
| 1 1 0 0  
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
Line 1,446: Line 1,614:
 
|- style="background:#f0f0ff"
 
|- style="background:#f0f0ff"
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
−
| align="right" | <math>q\colon\!</math>
+
| align="right" | dA :
−
| <math>1~0~1~0\!</math>
+
| 1 0 1 0
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
 
| &nbsp;
 
|-
 
|-
 +
| f<sub>0</sub>
 +
| g<sub>0</sub>
 +
| 0 0 0 0
 +
| (&nbsp;)
 +
| False
 +
| 0
 +
|-
 +
|
 +
{|
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
&nbsp;<br>
−
f_0
+
&nbsp;<br>
−
\\[4pt]
+
&nbsp;<br>
−
f_1
+
&nbsp;
−
\\[4pt]
+
|}
−
f_2
+
|
−
\\[4pt]
+
{|
−
f_3
+
|
−
\\[4pt]
+
g<sub>1</sub><br>
−
f_4
+
g<sub>2</sub><br>
−
\\[4pt]
+
g<sub>4</sub><br>
−
f_5
+
g<sub>8</sub>
−
\\[4pt]
+
|}
−
f_6
 
−
\\[4pt]
 
−
f_7
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
{|
−
f_{0000}
 
−
\\[4pt]
 
−
f_{0001}
 
−
\\[4pt]
 
−
f_{0010}
 
−
\\[4pt]
 
−
f_{0011}
 
−
\\[4pt]
 
−
f_{0100}
 
−
\\[4pt]
 
−
f_{0101}
 
−
\\[4pt]
 
−
f_{0110}
 
−
\\[4pt]
 
−
f_{0111}
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
0 0 0 1<br>
−
0~0~0~0
+
0 0 1 0<br>
−
\\[4pt]
+
0 1 0 0<br>
−
0~0~0~1
+
1 0 0 0
−
\\[4pt]
+
|}
−
0~0~1~0
+
|
−
\\[4pt]
+
{|
−
0~0~1~1
 
−
\\[4pt]
 
−
0~1~0~0
 
−
\\[4pt]
 
−
0~1~0~1
 
−
\\[4pt]
 
−
0~1~1~0
 
−
\\[4pt]
 
−
0~1~1~1
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
(A)(dA)<br>
−
(~)
+
(A) dA <br>
−
\\[4pt]
+
A (dA)<br>
−
(p)(q)
+
A dA
−
\\[4pt]
+
|}
−
(p)~q~
 
−
\\[4pt]
 
−
(p)~~~
 
−
\\[4pt]
 
−
~p~(q)
 
−
\\[4pt]
 
−
~~~(q)
 
−
\\[4pt]
 
−
(p,~q)
 
−
\\[4pt]
 
−
(p~~q)
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
{|
−
\text{false}
 
−
\\[4pt]
 
−
\text{neither}~ p ~\text{nor}~ q
 
−
\\[4pt]
 
−
q ~\text{without}~ p
 
−
\\[4pt]
 
−
\text{not}~ p
 
−
\\[4pt]
 
−
p ~\text{without}~ q
 
−
\\[4pt]
 
−
\text{not}~ q
 
−
\\[4pt]
 
−
p ~\text{not equal to}~ q
 
−
\\[4pt]
 
−
\text{not both}~ p ~\text{and}~ q
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
Neither A nor dA<br>
−
0
+
Not A but dA<br>
−
\\[4pt]
+
A but not dA<br>
−
\lnot p \land \lnot q
+
A and dA
−
\\[4pt]
+
|}
−
\lnot p \land q
+
|
−
\\[4pt]
+
{|
−
\lnot p
+
|
−
\\[4pt]
+
&not;A &and; &not;dA<br>
−
p \land \lnot q
+
&not;A &and; dA<br>
−
\\[4pt]
+
A &and; &not;dA<br>
−
\lnot q
+
A &and; dA
−
\\[4pt]
+
|}
−
p \ne q
 
−
\\[4pt]
 
−
\lnot p \lor \lnot q
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
{|
−
f_8
+
|
−
\\[4pt]
+
f<sub>1</sub><br>
−
f_9
+
f<sub>2</sub>
−
\\[4pt]
+
|}
−
f_{10}
+
|
−
\\[4pt]
+
{|
−
f_{11}
 
−
\\[4pt]
 
−
f_{12}
 
−
\\[4pt]
 
−
f_{13}
 
−
\\[4pt]
 
−
f_{14}
 
−
\\[4pt]
 
−
f_{15}
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
g<sub>3</sub><br>
−
f_{1000}
+
g<sub>12</sub>
−
\\[4pt]
+
|}
−
f_{1001}
+
|
−
\\[4pt]
+
{|
−
f_{1010}
 
−
\\[4pt]
 
−
f_{1011}
 
−
\\[4pt]
 
−
f_{1100}
 
−
\\[4pt]
 
−
f_{1101}
 
−
\\[4pt]
 
−
f_{1110}
 
−
\\[4pt]
 
−
f_{1111}
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
0 0 1 1<br>
−
1~0~0~0
+
1 1 0 0
−
\\[4pt]
+
|}
−
1~0~0~1
 
−
\\[4pt]
 
−
1~0~1~0
 
−
\\[4pt]
 
−
1~0~1~1
 
−
\\[4pt]
 
−
1~1~0~0
 
−
\\[4pt]
 
−
1~1~0~1
 
−
\\[4pt]
 
−
1~1~1~0
 
−
\\[4pt]
 
−
1~1~1~1
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
{|
−
~~p~~q~~
 
−
\\[4pt]
 
−
((p,~q))
 
−
\\[4pt]
 
−
~~~~~q~~
 
−
\\[4pt]
 
−
~(p~(q))
 
−
\\[4pt]
 
−
~~p~~~~~
 
−
\\[4pt]
 
−
((p)~q)~
 
−
\\[4pt]
 
−
((p)(q))
 
−
\\[4pt]
 
−
((~))
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
(A)<br>
−
p ~\text{and}~ q
+
A
−
\\[4pt]
+
|}
−
p ~\text{equal to}~ q
+
|
−
\\[4pt]
+
{|
−
q
+
|
−
\\[4pt]
+
Not A<br>
−
\text{not}~ p ~\text{without}~ q
+
A
−
\\[4pt]
+
|}
−
p
+
|
−
\\[4pt]
+
{|
−
\text{not}~ q ~\text{without}~ p
 
−
\\[4pt]
 
−
p ~\text{or}~ q
 
−
\\[4pt]
 
−
\text{true}
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
&not;A<br>
−
p \land q
+
A
−
\\[4pt]
+
|}
−
p = q
+
|-
−
\\[4pt]
+
|
−
q
+
{|
−
\\[4pt]
+
|
−
p \Rightarrow q
+
&nbsp;<br>
−
\\[4pt]
+
&nbsp;
−
p
 
−
\\[4pt]
 
−
p \Leftarrow q
 
−
\\[4pt]
 
−
p \lor q
 
−
\\[4pt]
 
−
1
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|}
 
|}
−
 
−
<br>
 
−
 
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:#f8f8ff; text-align:center; width:90%"
 
−
|+ <math>\text{Table A2.}~~\text{Propositional Forms on Two Variables}</math>
 
−
|- style="background:#f0f0ff"
 
−
| width="15%" |
 
−
<p><math>\mathcal{L}_1</math></p>
 
−
<p><math>\text{Decimal}</math></p>
 
−
| width="15%" |
 
−
<p><math>\mathcal{L}_2</math></p>
 
−
<p><math>\text{Binary}</math></p>
 
−
| width="15%" |
 
−
<p><math>\mathcal{L}_3</math></p>
 
−
<p><math>\text{Vector}</math></p>
 
−
| width="15%" |
 
−
<p><math>\mathcal{L}_4</math></p>
 
−
<p><math>\text{Cactus}</math></p>
 
−
| width="25%" |
 
−
<p><math>\mathcal{L}_5</math></p>
 
−
<p><math>\text{English}</math></p>
 
−
| width="15%" |
 
−
<p><math>\mathcal{L}_6</math></p>
 
−
<p><math>\text{Ordinary}</math></p>
 
−
|- style="background:#f0f0ff"
 
−
| &nbsp;
 
−
| align="right" | <math>p\colon\!</math>
 
−
| <math>1~1~0~0\!</math>
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
−
|- style="background:#f0f0ff"
 
−
| &nbsp;
 
−
| align="right" | <math>q\colon\!</math>
 
−
| <math>1~0~1~0\!</math>
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
−
|-
 
−
| <math>f_0\!</math>
 
−
| <math>f_{0000}\!</math>
 
−
| <math>0~0~0~0</math>
 
−
| <math>(~)</math>
 
−
| <math>\text{false}\!</math>
 
−
| <math>0\!</math>
 
−
|-
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
{|
−
f_1
 
−
\\[4pt]
 
−
f_2
 
−
\\[4pt]
 
−
f_4
 
−
\\[4pt]
 
−
f_8
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
g<sub>6</sub><br>
−
f_{0001}
+
g<sub>9</sub>
−
\\[4pt]
+
|}
−
f_{0010}
+
|
−
\\[4pt]
+
{|
−
f_{0100}
 
−
\\[4pt]
 
−
f_{1000}
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
0 1 1 0<br>
−
0~0~0~1
+
1 0 0 1
−
\\[4pt]
+
|}
−
0~0~1~0
 
−
\\[4pt]
 
−
0~1~0~0
 
−
\\[4pt]
 
−
1~0~0~0
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
{|
−
(p)(q)
 
−
\\[4pt]
 
−
(p)~q~
 
−
\\[4pt]
 
−
~p~(q)
 
−
\\[4pt]
 
−
~p~~q~
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
(A, dA)<br>
−
\text{neither}~ p ~\text{nor}~ q
+
((A, dA))
−
\\[4pt]
+
|}
−
q ~\text{without}~ p
 
−
\\[4pt]
 
−
p ~\text{without}~ q
 
−
\\[4pt]
 
−
p ~\text{and}~ q
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
{|
−
\lnot p \land \lnot q
 
−
\\[4pt]
 
−
\lnot p \land q
 
−
\\[4pt]
 
−
p \land \lnot q
 
−
\\[4pt]
 
−
p \land q
 
−
\end{matrix}</math>
 
−
|-
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
A not equal to dA<br>
−
f_3
+
A equal to dA
−
\\[4pt]
+
|}
−
f_{12}
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
{|
−
f_{0011}
 
−
\\[4pt]
 
−
f_{1100}
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
A &ne; dA<br>
−
0~0~1~1
+
A = dA
−
\\[4pt]
+
|}
−
1~1~0~0
+
|-
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
{|
−
(p)
 
−
\\[4pt]
 
−
~p~
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
&nbsp;<br>
−
\text{not}~ p
+
&nbsp;
−
\\[4pt]
+
|}
−
p
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
{|
−
\lnot p
 
−
\\[4pt]
 
−
p
 
−
\end{matrix}</math>
 
−
|-
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
g<sub>5</sub><br>
−
f_6
+
g<sub>10</sub>
−
\\[4pt]
+
|}
−
f_9
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
{|
−
f_{0110}
 
−
\\[4pt]
 
−
f_{1001}
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
0 1 0 1<br>
−
0~1~1~0
+
1 0 1 0
−
\\[4pt]
+
|}
−
1~0~0~1
+
|
−
\end{matrix}</math>
+
{|
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
(dA)<br>
−
~(p,~q)~
+
dA
−
\\[4pt]
+
|}
−
((p,~q))
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
{|
−
p ~\text{not equal to}~ q
 
−
\\[4pt]
 
−
p ~\text{equal to}~ q
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
Not dA<br>
−
p \ne q
+
dA
−
\\[4pt]
+
|}
−
p = q
 
−
\end{matrix}</math>
 
−
|-
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
{|
−
f_5
 
−
\\[4pt]
 
−
f_{10}
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
&not;dA<br>
−
f_{0101}
+
dA
−
\\[4pt]
+
|}
−
f_{1010}
+
|-
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
{|
−
0~1~0~1
 
−
\\[4pt]
 
−
1~0~1~0
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
&nbsp;<br>
−
(q)
+
&nbsp;<br>
−
\\[4pt]
+
&nbsp;<br>
−
~q~
+
&nbsp;
−
\end{matrix}</math>
+
|}
 +
|
 +
{|
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
g<sub>7</sub><br>
−
\text{not}~ q
+
g<sub>11</sub><br>
−
\\[4pt]
+
g<sub>13</sub><br>
−
q
+
g<sub>14</sub>
−
\end{matrix}</math>
+
|}
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
{|
−
\lnot q
 
−
\\[4pt]
 
−
q
 
−
\end{matrix}</math>
 
−
|-
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
0 1 1 1<br>
−
f_7
+
1 0 1 1<br>
−
\\[4pt]
+
1 1 0 1<br>
−
f_{11}
+
1 1 1 0
−
\\[4pt]
+
|}
−
f_{13}
 
−
\\[4pt]
 
−
f_{14}
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
{|
−
f_{0111}
 
−
\\[4pt]
 
−
f_{1011}
 
−
\\[4pt]
 
−
f_{1101}
 
−
\\[4pt]
 
−
f_{1110}
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
(A dA)<br>
−
0~1~1~1
+
(A (dA))<br>
−
\\[4pt]
+
((A) dA)<br>
−
1~0~1~1
+
((A)(dA))
−
\\[4pt]
+
|}
−
1~1~0~1
+
|
−
\\[4pt]
+
{|
−
1~1~1~0
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
Not both A and dA<br>
−
~(p~~q)~
+
Not A without dA<br>
−
\\[4pt]
+
Not dA without A<br>
−
~(p~(q))
+
A or dA
−
\\[4pt]
+
|}
−
((p)~q)~
 
−
\\[4pt]
 
−
((p)(q))
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
{|
−
\text{not both}~ p ~\text{and}~ q
 
−
\\[4pt]
 
−
\text{not}~ p ~\text{without}~ q
 
−
\\[4pt]
 
−
\text{not}~ q ~\text{without}~ p
 
−
\\[4pt]
 
−
p ~\text{or}~ q
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
&not;A &or; &not;dA<br>
−
\lnot p \lor \lnot q
+
A &rArr; dA<br>
−
\\[4pt]
+
A &lArr; dA<br>
−
p \Rightarrow q
+
A &or; dA
−
\\[4pt]
+
|}
−
p \Leftarrow q
 
−
\\[4pt]
 
−
p \lor q
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|-
 
|-
−
| <math>f_{15}\!</math>
+
| f<sub>3</sub>
−
| <math>f_{1111}\!</math>
+
| g<sub>15</sub>
−
| <math>1~1~1~1</math>
+
| 1 1 1 1
−
| <math>((~))</math>
+
| ((&nbsp;))
−
| <math>\text{true}\!</math>
+
| True
−
| <math>1\!</math>
+
| 1
 
|}
 
|}
  
 
<br>
 
<br>
  
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:#f8f8ff; text-align:center; width:90%"
+
===Wiki Tables : Old Versions===
−
|+ <math>\text{Table A3.}~~\operatorname{E}f ~\text{Expanded Over Differential Features}~ \{ \operatorname{d}p, \operatorname{d}q \}</math>
+
 
−
|- style="background:#f0f0ff"
+
====Propositional Forms on Two Variables====
−
| width="10%" | &nbsp;
+
 
−
| width="18%" | <math>f\!</math>
+
<br>
−
| width="18%" |  
+
 
−
<p><math>\operatorname{T}_{11} f</math></p>
+
{| align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="background:lightcyan; font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
−
<p><math>\operatorname{E}f|_{\operatorname{d}p~\operatorname{d}q}</math></p>
+
|+ '''Table 1. Propositional Forms on Two Variables'''
−
| width="18%" |
+
|- style="background:paleturquoise"
−
<p><math>\operatorname{T}_{10} f</math></p>
+
! width="15%" | L<sub>1</sub>
−
<p><math>\operatorname{E}f|_{\operatorname{d}p(\operatorname{d}q)}</math></p>
+
! width="15%" | L<sub>2</sub>
−
| width="18%" |
+
! width="15%" | L<sub>3</sub>
−
<p><math>\operatorname{T}_{01} f</math></p>
+
! width="15%" | L<sub>4</sub>
−
<p><math>\operatorname{E}f|_{(\operatorname{d}p)\operatorname{d}q}</math></p>
+
! width="25%" | L<sub>5</sub>
−
| width="18%" |
+
! width="15%" | L<sub>6</sub>
−
<p><math>\operatorname{T}_{00} f</math></p>
+
|- style="background:paleturquoise"
−
<p><math>\operatorname{E}f|_{(\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q)}</math></p>
+
| &nbsp;
 +
| align="right" | x :
 +
| 1 1 0 0
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
|- style="background:paleturquoise"
 +
| &nbsp;
 +
| align="right" | y :
 +
| 1 0 1 0
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 
|-
 
|-
−
| <math>f_0\!</math>
+
| f<sub>0</sub> || f<sub>0000</sub> || 0 0 0 0 || (&nbsp;) || false || 0
−
| <math>(~)</math>
 
−
| <math>(~)</math>
 
−
| <math>(~)</math>
 
−
| <math>(~)</math>
 
−
| <math>(~)</math>
 
 
|-
 
|-
 +
| f<sub>1</sub> || f<sub>0001</sub> || 0 0 0 1 || (x)(y) || neither x nor y || &not;x &and; &not;y
 +
|-
 +
| f<sub>2</sub> || f<sub>0010</sub> || 0 0 1 0 || (x) y || y and not x || &not;x &and; y
 +
|-
 +
| f<sub>3</sub> || f<sub>0011</sub> || 0 0 1 1 || (x) || not x || &not;x
 +
|-
 +
| f<sub>4</sub> || f<sub>0100</sub> || 0 1 0 0 || x (y) || x and not y || x &and; &not;y
 +
|-
 +
| f<sub>5</sub> || f<sub>0101</sub> || 0 1 0 1 || (y) || not y || &not;y
 +
|-
 +
| f<sub>6</sub> || f<sub>0110</sub> || 0 1 1 0 || (x, y) || x not equal to y || x &ne; y
 +
|-
 +
| f<sub>7</sub> || f<sub>0111</sub> || 0 1 1 1 || (x&nbsp;y) || not both x and y || &not;x &or; &not;y
 +
|-
 +
| f<sub>8</sub> || f<sub>1000</sub> || 1 0 0 0 || x&nbsp;y || x and y || x &and; y
 +
|-
 +
| f<sub>9</sub> || f<sub>1001</sub> || 1 0 0 1 || ((x, y)) || x equal to y || x = y
 +
|-
 +
| f<sub>10</sub> || f<sub>1010</sub> || 1 0 1 0 || y || y || y
 +
|-
 +
| f<sub>11</sub> || f<sub>1011</sub> || 1 0 1 1 || (x (y)) || not x without y || x &rarr; y
 +
|-
 +
| f<sub>12</sub> || f<sub>1100</sub> || 1 1 0 0 || x || x || x
 +
|-
 +
| f<sub>13</sub> || f<sub>1101</sub> || 1 1 0 1 || ((x) y) || not y without x || x &larr; y
 +
|-
 +
| f<sub>14</sub> || f<sub>1110</sub> || 1 1 1 0 || ((x)(y)) || x or y  || x &or; y
 +
|-
 +
| f<sub>15</sub> || f<sub>1111</sub> || 1 1 1 1 || ((&nbsp;)) || true || 1
 +
|}
 +
 +
<br>
 +
 +
====Differential Propositions====
 +
 +
<br>
 +
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="6" cellspacing="0" style="font-weight:bold; text-align:center; width:90%"
 +
|+ '''Table 14.  Differential Propositions'''
 +
|- style="background:ghostwhite"
 +
| &nbsp;
 +
| align="right" | A :
 +
| 1 1 0 0
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
|- style="background:ghostwhite"
 +
| &nbsp;
 +
| align="right" | dA :
 +
| 1 0 1 0
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
|-
 +
| f<sub>0</sub>
 +
| g<sub>0</sub>
 +
| 0 0 0 0
 +
| (&nbsp;)
 +
| False
 +
| 0
 +
|-
 +
|
 +
{|
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
&nbsp;<br>
−
f_1
+
&nbsp;<br>
−
\\[4pt]
+
&nbsp;<br>
−
f_2
+
&nbsp;
−
\\[4pt]
+
|}
−
f_4
 
−
\\[4pt]
 
−
f_8
 
−
\end{matrix}</math>
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
(p)(q)
 
−
\\[4pt]
 
−
(p)~q~
 
−
\\[4pt]
 
−
~p~(q)
 
−
\\[4pt]
 
−
~p~~q~
 
−
\end{matrix}</math>
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
~p~~q~
 
−
\\[4pt]
 
−
~p~(q)
 
−
\\[4pt]
 
−
(p)~q~
 
−
\\[4pt]
 
−
(p)(q)
 
−
\end{matrix}</math>
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
~p~(q)
 
−
\\[4pt]
 
−
~p~~q~
 
−
\\[4pt]
 
−
(p)(q)
 
−
\\[4pt]
 
−
(p)~q~
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
{|
−
(p)~q~
+
|
−
\\[4pt]
+
g<sub>1</sub><br>
−
(p)(q)
+
g<sub>2</sub><br>
−
\\[4pt]
+
g<sub>4</sub><br>
−
~p~~q~
+
g<sub>8</sub>
−
\\[4pt]
+
|}
−
~p~(q)
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
{|
−
(p)(q)
 
−
\\[4pt]
 
−
(p)~q~
 
−
\\[4pt]
 
−
~p~(q)
 
−
\\[4pt]
 
−
~p~~q~
 
−
\end{matrix}</math>
 
−
|-
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
0 0 0 1<br>
−
f_3
+
0 0 1 0<br>
−
\\[4pt]
+
0 1 0 0<br>
−
f_{12}
+
1 0 0 0
−
\end{matrix}</math>
+
|}
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
{|
−
(p)
 
−
\\[4pt]
 
−
~p~
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
(A)(dA)<br>
−
~p~
+
(A) dA <br>
−
\\[4pt]
+
A (dA)<br>
−
(p)
+
A dA
−
\end{matrix}</math>
+
|}
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
{|
−
~p~
 
−
\\[4pt]
 
−
(p)
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
Neither A nor dA<br>
−
(p)
+
Not A but dA<br>
−
\\[4pt]
+
A but not dA<br>
−
~p~
+
A and dA
−
\end{matrix}</math>
+
|}
 +
|
 +
{|
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
&not;A &and; &not;dA<br>
−
(p)
+
&not;A &and; dA<br>
−
\\[4pt]
+
A &and; &not;dA<br>
−
~p~
+
A &and; dA
−
\end{matrix}</math>
+
|}
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
{|
−
f_6
 
−
\\[4pt]
 
−
f_9
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
f<sub>1</sub><br>
−
~(p,~q)~
+
f<sub>2</sub>
−
\\[4pt]
+
|}
−
((p,~q))
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
{|
−
~(p,~q)~
 
−
\\[4pt]
 
−
((p,~q))
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
g<sub>3</sub><br>
−
((p,~q))
+
g<sub>12</sub>
−
\\[4pt]
+
|}
−
~(p,~q)~
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
{|
−
((p,~q))
 
−
\\[4pt]
 
−
~(p,~q)~
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
0 0 1 1<br>
−
~(p,~q)~
+
1 1 0 0
−
\\[4pt]
+
|}
−
((p,~q))
 
−
\end{matrix}</math>
 
−
|-
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
{|
−
f_5
 
−
\\[4pt]
 
−
f_{10}
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
(A)<br>
−
(q)
+
A
−
\\[4pt]
+
|}
−
~q~
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
{|
−
~q~
 
−
\\[4pt]
 
−
(q)
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
Not A<br>
−
(q)
+
A
−
\\[4pt]
+
|}
−
~q~
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
{|
−
~q~
 
−
\\[4pt]
 
−
(q)
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
&not;A<br>
−
(q)
+
A
−
\\[4pt]
+
|}
−
~q~
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
{|
−
f_7
+
|
−
\\[4pt]
+
&nbsp;<br>
−
f_{11}
+
&nbsp;
−
\\[4pt]
+
|}
−
f_{13}
+
|
−
\\[4pt]
+
{|
−
f_{14}
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
g<sub>6</sub><br>
−
(~p~~q~)
+
g<sub>9</sub>
−
\\[4pt]
+
|}
−
(~p~(q))
 
−
\\[4pt]
 
−
((p)~q~)
 
−
\\[4pt]
 
−
((p)(q))
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
{|
−
((p)(q))
 
−
\\[4pt]
 
−
((p)~q~)
 
−
\\[4pt]
 
−
(~p~(q))
 
−
\\[4pt]
 
−
(~p~~q~)
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
0 1 1 0<br>
−
((p)~q~)
+
1 0 0 1
−
\\[4pt]
+
|}
−
((p)(q))
 
−
\\[4pt]
 
−
(~p~~q~)
 
−
\\[4pt]
 
−
(~p~(q))
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
{|
−
(~p~(q))
 
−
\\[4pt]
 
−
(~p~~q~)
 
−
\\[4pt]
 
−
((p)(q))
 
−
\\[4pt]
 
−
((p)~q~)
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
(A, dA)<br>
−
(~p~~q~)
+
((A, dA))
−
\\[4pt]
 
−
(~p~(q))
 
−
\\[4pt]
 
−
((p)~q~)
 
−
\\[4pt]
 
−
((p)(q))
 
−
\end{matrix}</math>
 
−
|-
 
−
| <math>f_{15}\!</math>
 
−
| <math>((~))</math>
 
−
| <math>((~))</math>
 
−
| <math>((~))</math>
 
−
| <math>((~))</math>
 
−
| <math>((~))</math>
 
−
|- style="background:#f0f0ff"
 
−
| colspan="2" | <math>\text{Fixed Point Total}\!</math>
 
−
| <math>4\!</math>
 
−
| <math>4\!</math>
 
−
| <math>4\!</math>
 
−
| <math>16\!</math>
 
 
|}
 
|}
−
 
−
<br>
 
−
 
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:#f8f8ff; text-align:center; width:90%"
 
−
|+ <math>\text{Table A4.}~~\operatorname{D}f ~\text{Expanded Over Differential Features}~ \{ \operatorname{d}p, \operatorname{d}q \}</math>
 
−
|- style="background:#f0f0ff"
 
−
| width="10%" | &nbsp;
 
−
| width="18%" | <math>f\!</math>
 
−
| width="18%" |
 
−
<math>\operatorname{D}f|_{\operatorname{d}p~\operatorname{d}q}</math>
 
−
| width="18%" |
 
−
<math>\operatorname{D}f|_{\operatorname{d}p(\operatorname{d}q)}</math>
 
−
| width="18%" |
 
−
<math>\operatorname{D}f|_{(\operatorname{d}p)\operatorname{d}q}</math>
 
−
| width="18%" |
 
−
<math>\operatorname{D}f|_{(\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q)}</math>
 
−
|-
 
−
| <math>f_0\!</math>
 
−
| <math>(~)</math>
 
−
| <math>(~)</math>
 
−
| <math>(~)</math>
 
−
| <math>(~)</math>
 
−
| <math>(~)</math>
 
−
|-
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
{|
−
f_1
 
−
\\[4pt]
 
−
f_2
 
−
\\[4pt]
 
−
f_4
 
−
\\[4pt]
 
−
f_8
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
A not equal to dA<br>
−
(p)(q)
+
A equal to dA
−
\\[4pt]
+
|}
−
(p)~q~
 
−
\\[4pt]
 
−
~p~(q)
 
−
\\[4pt]
 
−
~p~~q~
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
{|
−
((p,~q))
 
−
\\[4pt]
 
−
~(p,~q)~
 
−
\\[4pt]
 
−
~(p,~q)~
 
−
\\[4pt]
 
−
((p,~q))
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
A &ne; dA<br>
−
(q)
+
A = dA
−
\\[4pt]
+
|}
−
~q~
+
|-
−
\\[4pt]
 
−
(q)
 
−
\\[4pt]
 
−
~q~
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
{|
−
(p)
 
−
\\[4pt]
 
−
(p)
 
−
\\[4pt]
 
−
~p~
 
−
\\[4pt]
 
−
~p~
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
&nbsp;<br>
−
(~)
+
&nbsp;
−
\\[4pt]
+
|}
−
(~)
 
−
\\[4pt]
 
−
(~)
 
−
\\[4pt]
 
−
(~)
 
−
\end{matrix}</math>
 
−
|-
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
{|
−
f_3
+
|
−
\\[4pt]
+
g<sub>5</sub><br>
−
f_{12}
+
g<sub>10</sub>
−
\end{matrix}</math>
+
|}
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
{|
−
(p)
 
−
\\[4pt]
 
−
~p~
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
0 1 0 1<br>
−
((~))
+
1 0 1 0
−
\\[4pt]
+
|}
−
((~))
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
{|
−
((~))
 
−
\\[4pt]
 
−
((~))
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
(dA)<br>
−
(~)
+
dA
−
\\[4pt]
+
|}
−
(~)
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
{|
−
(~)
 
−
\\[4pt]
 
−
(~)
 
−
\end{matrix}</math>
 
−
|-
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
Not dA<br>
−
f_6
+
dA
−
\\[4pt]
+
|}
−
f_9
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
{|
−
~(p,~q)~
 
−
\\[4pt]
 
−
((p,~q))
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
&not;dA<br>
−
(~)
+
dA
−
\\[4pt]
+
|}
−
(~)
+
|-
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
{|
−
((~))
 
−
\\[4pt]
 
−
((~))
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
&nbsp;<br>
−
((~))
+
&nbsp;<br>
−
\\[4pt]
+
&nbsp;<br>
−
((~))
+
&nbsp;
−
\end{matrix}</math>
+
|}
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
{|
−
(~)
 
−
\\[4pt]
 
−
(~)
 
−
\end{matrix}</math>
 
−
|-
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
g<sub>7</sub><br>
−
f_5
+
g<sub>11</sub><br>
−
\\[4pt]
+
g<sub>13</sub><br>
−
f_{10}
+
g<sub>14</sub>
−
\end{matrix}</math>
+
|}
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
{|
−
(q)
 
−
\\[4pt]
 
−
~q~
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
0 1 1 1<br>
−
((~))
+
1 0 1 1<br>
−
\\[4pt]
+
1 1 0 1<br>
−
((~))
+
1 1 1 0
−
\end{matrix}</math>
+
|}
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
{|
−
(~)
 
−
\\[4pt]
 
−
(~)
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
(A dA)<br>
−
((~))
+
(A (dA))<br>
−
\\[4pt]
+
((A) dA)<br>
−
((~))
+
((A)(dA))
−
\end{matrix}</math>
+
|}
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
{|
−
(~)
 
−
\\[4pt]
 
−
(~)
 
−
\end{matrix}</math>
 
−
|-
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
Not both A and dA<br>
−
f_7
+
Not A without dA<br>
−
\\[4pt]
+
Not dA without A<br>
−
f_{11}
+
A or dA
−
\\[4pt]
+
|}
−
f_{13}
 
−
\\[4pt]
 
−
f_{14}
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
{|
−
~(p~~q)~
 
−
\\[4pt]
 
−
~(p~(q))
 
−
\\[4pt]
 
−
((p)~q)~
 
−
\\[4pt]
 
−
((p)(q))
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|
 
|
−
<math>\begin{matrix}
+
&not;A &or; &not;dA<br>
−
((p,~q))
+
A &rarr; dA<br>
−
\\[4pt]
+
A &larr; dA<br>
−
~(p,~q)~
+
A &or; dA
−
\\[4pt]
+
|}
−
~(p,~q)~
 
−
\\[4pt]
 
−
((p,~q))
 
−
\end{matrix}</math>
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
~q~
 
−
\\[4pt]
 
−
(q)
 
−
\\[4pt]
 
−
~q~
 
−
\\[4pt]
 
−
(q)
 
−
\end{matrix}</math>
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
~p~
 
−
\\[4pt]
 
−
~p~
 
−
\\[4pt]
 
−
(p)
 
−
\\[4pt]
 
−
(p)
 
−
\end{matrix}</math>
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
(~)
 
−
\\[4pt]
 
−
(~)
 
−
\\[4pt]
 
−
(~)
 
−
\\[4pt]
 
−
(~)
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|-
 
|-
−
| <math>f_{15}\!</math>
+
| f<sub>3</sub>
−
| <math>((~))</math>
+
| g<sub>15</sub>
−
| <math>(~)</math>
+
| 1 1 1 1
−
| <math>(~)</math>
+
| ((&nbsp;))
−
| <math>(~)</math>
+
| True
−
| <math>(~)</math>
+
| 1
 
|}
 
|}
  
 
<br>
 
<br>
  
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:#f8f8ff; text-align:center; width:90%"
+
===Wiki TeX Tables : PQ===
−
|+ <math>\text{Table A5.}~~\operatorname{E}f ~\text{Expanded Over Ordinary Features}~ \{ p, q \}</math>
+
 
−
|- style="background:#f0f0ff"
+
<br>
−
| width="10%" | &nbsp;
+
 
−
| width="18%" | <math>f\!</math>
+
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="text-align:center; width:90%"
−
| width="18%" | <math>\operatorname{E}f|_{xy}</math>
+
|+ <math>\text{Table A1.}~~\text{Propositional Forms on Two Variables}</math>
−
| width="18%" | <math>\operatorname{E}f|_{p(q)}</math>
+
|- style="background:#f0f0ff"
−
| width="18%" | <math>\operatorname{E}f|_{(p)q}</math>
+
| width="15%" |
−
| width="18%" | <math>\operatorname{E}f|_{(p)(q)}</math>
+
<p><math>\mathcal{L}_1</math></p>
−
|-
+
<p><math>\text{Decimal}</math></p>
−
| <math>f_0\!</math>
+
| width="15%" |
−
| <math>(~)</math>
+
<p><math>\mathcal{L}_2</math></p>
−
| <math>(~)</math>
+
<p><math>\text{Binary}</math></p>
−
| <math>(~)</math>
+
| width="15%" |
−
| <math>(~)</math>
+
<p><math>\mathcal{L}_3</math></p>
−
| <math>(~)</math>
+
<p><math>\text{Vector}</math></p>
 +
| width="15%" |
 +
<p><math>\mathcal{L}_4</math></p>
 +
<p><math>\text{Cactus}</math></p>
 +
| width="25%" |
 +
<p><math>\mathcal{L}_5</math></p>
 +
<p><math>\text{English}</math></p>
 +
| width="15%" |
 +
<p><math>\mathcal{L}_6</math></p>
 +
<p><math>\text{Ordinary}</math></p>
 +
|- style="background:#f0f0ff"
 +
| &nbsp;
 +
| align="right" | <math>p\colon\!</math>
 +
| <math>1~1~0~0\!</math>
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
|- style="background:#f0f0ff"
 +
| &nbsp;
 +
| align="right" | <math>q\colon\!</math>
 +
| <math>1~0~1~0\!</math>
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
 +
f_0
 +
\\[4pt]
 
f_1
 
f_1
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
 
f_2
 
f_2
 +
\\[4pt]
 +
f_3
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
 
f_4
 
f_4
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
f_8
+
f_5
 +
\\[4pt]
 +
f_6
 +
\\[4pt]
 +
f_7
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
(p)(q)
+
f_{0000}
 +
\\[4pt]
 +
f_{0001}
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(p)~q~
+
f_{0010}
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~p~(q)
+
f_{0011}
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~p~~q~
+
f_{0100}
−
\end{matrix}</math>
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
~\operatorname{d}p~~\operatorname{d}q~
 
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~\operatorname{d}p~(\operatorname{d}q)
+
f_{0101}
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(\operatorname{d}p)~\operatorname{d}q~
+
f_{0110}
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q)
+
f_{0111}
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
~\operatorname{d}p~(\operatorname{d}q)
+
0~0~0~0
 +
\\[4pt]
 +
0~0~0~1
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~\operatorname{d}p~~\operatorname{d}q~
+
0~0~1~0
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q)
+
0~0~1~1
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(\operatorname{d}p)~\operatorname{d}q~
+
0~1~0~0
−
\end{matrix}</math>
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
(\operatorname{d}p)~\operatorname{d}q~
 
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q)
+
0~1~0~1
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~\operatorname{d}p~~\operatorname{d}q~
+
0~1~1~0
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~\operatorname{d}p~(\operatorname{d}q)
+
0~1~1~1
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
(\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q)
+
(~)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(\operatorname{d}p)~\operatorname{d}q~
+
(p)(q)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~\operatorname{d}p~(\operatorname{d}q)
+
(p)~q~
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~\operatorname{d}p~~\operatorname{d}q~
+
(p)~~~
−
\end{matrix}</math>
 
−
|-
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
f_3
 
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
f_{12}
+
~p~(q)
 +
\\[4pt]
 +
~~~(q)
 +
\\[4pt]
 +
(p,~q)
 +
\\[4pt]
 +
(p~~q)
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
(p)
+
\text{false}
 +
\\[4pt]
 +
\text{neither}~ p ~\text{nor}~ q
 +
\\[4pt]
 +
q ~\text{without}~ p
 +
\\[4pt]
 +
\text{not}~ p
 +
\\[4pt]
 +
p ~\text{without}~ q
 +
\\[4pt]
 +
\text{not}~ q
 +
\\[4pt]
 +
p ~\text{not equal to}~ q
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~p~
+
\text{not both}~ p ~\text{and}~ q
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
~\operatorname{d}p~
+
0
 +
\\[4pt]
 +
\lnot p \land \lnot q
 +
\\[4pt]
 +
\lnot p \land q
 +
\\[4pt]
 +
\lnot p
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(\operatorname{d}p)
+
p \land \lnot q
−
\end{matrix}</math>
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
~\operatorname{d}p~
 
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(\operatorname{d}p)
+
\lnot q
−
\end{matrix}</math>
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
(\operatorname{d}p)
 
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~\operatorname{d}p~
+
p \ne q
−
\end{matrix}</math>
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
(\operatorname{d}p)
 
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~\operatorname{d}p~
+
\lnot p \lor \lnot q
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
f_6
+
f_8
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
 
f_9
 
f_9
−
\end{matrix}</math>
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
~(p,~q)~
 
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
((p,~q))
+
f_{10}
 +
\\[4pt]
 +
f_{11}
 +
\\[4pt]
 +
f_{12}
 +
\\[4pt]
 +
f_{13}
 +
\\[4pt]
 +
f_{14}
 +
\\[4pt]
 +
f_{15}
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
~(\operatorname{d}p,~\operatorname{d}q)~
+
f_{1000}
 +
\\[4pt]
 +
f_{1001}
 +
\\[4pt]
 +
f_{1010}
 +
\\[4pt]
 +
f_{1011}
 +
\\[4pt]
 +
f_{1100}
 +
\\[4pt]
 +
f_{1101}
 +
\\[4pt]
 +
f_{1110}
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
((\operatorname{d}p,~\operatorname{d}q))
+
f_{1111}
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
((\operatorname{d}p,~\operatorname{d}q))
+
1~0~0~0
 +
\\[4pt]
 +
1~0~0~1
 +
\\[4pt]
 +
1~0~1~0
 +
\\[4pt]
 +
1~0~1~1
 +
\\[4pt]
 +
1~1~0~0
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~(\operatorname{d}p,~\operatorname{d}q)~
+
1~1~0~1
−
\end{matrix}</math>
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
((\operatorname{d}p,~\operatorname{d}q))
 
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~(\operatorname{d}p,~\operatorname{d}q)~
+
1~1~1~0
−
\end{matrix}</math>
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
~(\operatorname{d}p,~\operatorname{d}q)~
 
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
((\operatorname{d}p,~\operatorname{d}q))
+
1~1~1~1
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
−
|-
 
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
f_5
+
~~p~~q~~
 +
\\[4pt]
 +
((p,~q))
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
f_{10}
+
~~~~~q~~
−
\end{matrix}</math>
+
\\[4pt]
−
|
+
~(p~(q))
−
<math>\begin{matrix}
 
−
(q)
 
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~q~
+
~~p~~~~~
−
\end{matrix}</math>
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
~\operatorname{d}q~
 
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(\operatorname{d}q)
+
((p)~q)~
−
\end{matrix}</math>
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
(\operatorname{d}q)
 
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~\operatorname{d}q~
+
((p)(q))
−
\end{matrix}</math>
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
~\operatorname{d}q~
 
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(\operatorname{d}q)
+
((~))
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
(\operatorname{d}q)
+
p ~\text{and}~ q
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~\operatorname{d}q~
+
p ~\text{equal to}~ q
−
\end{matrix}</math>
 
−
|-
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
f_7
 
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
f_{11}
+
q
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
f_{13}
+
\text{not}~ p ~\text{without}~ q
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
f_{14}
+
p
−
\end{matrix}</math>
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
(~p~~q~)
 
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(~p~(q))
+
\text{not}~ q ~\text{without}~ p
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
((p)~q~)
+
p ~\text{or}~ q
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
((p)(q))
+
\text{true}
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
((\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q))
+
p \land q
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
((\operatorname{d}p)~\operatorname{d}q~)
+
p = q
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(~\operatorname{d}p~(\operatorname{d}q))
+
q
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(~\operatorname{d}p~~\operatorname{d}q~)
+
p \Rightarrow q
−
\end{matrix}</math>
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
((\operatorname{d}p)~\operatorname{d}q~)
 
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
((\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q))
+
p
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(~\operatorname{d}p~~\operatorname{d}q~)
+
p \Leftarrow q
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(~\operatorname{d}p~(\operatorname{d}q))
+
p \lor q
−
\end{matrix}</math>
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
(~\operatorname{d}p~(\operatorname{d}q))
 
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(~\operatorname{d}p~~\operatorname{d}q~)
+
1
−
\\[4pt]
 
−
((\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q))
 
−
\\[4pt]
 
−
((\operatorname{d}p)~\operatorname{d}q~)
 
−
\end{matrix}</math>
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
(~\operatorname{d}p~~\operatorname{d}q~)
 
−
\\[4pt]
 
−
(~\operatorname{d}p~(\operatorname{d}q))
 
−
\\[4pt]
 
−
((\operatorname{d}p)~\operatorname{d}q~)
 
−
\\[4pt]
 
−
((\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q))
 
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
−
|-
 
−
| <math>f_{15}\!</math>
 
−
| <math>((~))</math>
 
−
| <math>((~))</math>
 
−
| <math>((~))</math>
 
−
| <math>((~))</math>
 
−
| <math>((~))</math>
 
 
|}
 
|}
  
 
<br>
 
<br>
  
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:#f8f8ff; text-align:center; width:90%"
+
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="text-align:center; width:90%"
−
|+ <math>\text{Table A6.}~~\operatorname{D}f ~\text{Expanded Over Ordinary Features}~ \{ p, q \}</math>
+
|+ <math>\text{Table A2.}~~\text{Propositional Forms on Two Variables}</math>
 
|- style="background:#f0f0ff"
 
|- style="background:#f0f0ff"
−
| width="10%" | &nbsp;
+
| width="15%" |
−
| width="18%" | <math>f\!</math>
+
<p><math>\mathcal{L}_1</math></p>
−
| width="18%" | <math>\operatorname{D}f|_{xy}</math>
+
<p><math>\text{Decimal}</math></p>
−
| width="18%" | <math>\operatorname{D}f|_{p(q)}</math>
+
| width="15%" |
−
| width="18%" | <math>\operatorname{D}f|_{(p)q}</math>
+
<p><math>\mathcal{L}_2</math></p>
−
| width="18%" | <math>\operatorname{D}f|_{(p)(q)}</math>
+
<p><math>\text{Binary}</math></p>
 +
| width="15%" |
 +
<p><math>\mathcal{L}_3</math></p>
 +
<p><math>\text{Vector}</math></p>
 +
| width="15%" |
 +
<p><math>\mathcal{L}_4</math></p>
 +
<p><math>\text{Cactus}</math></p>
 +
| width="25%" |
 +
<p><math>\mathcal{L}_5</math></p>
 +
<p><math>\text{English}</math></p>
 +
| width="15%" |
 +
<p><math>\mathcal{L}_6</math></p>
 +
<p><math>\text{Ordinary}</math></p>
 +
|- style="background:#f0f0ff"
 +
| &nbsp;
 +
| align="right" | <math>p\colon\!</math>
 +
| <math>1~1~0~0\!</math>
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
|- style="background:#f0f0ff"
 +
| &nbsp;
 +
| align="right" | <math>q\colon\!</math>
 +
| <math>1~0~1~0\!</math>
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 
|-
 
|-
 
| <math>f_0\!</math>
 
| <math>f_0\!</math>
 +
| <math>f_{0000}\!</math>
 +
| <math>0~0~0~0</math>
 
| <math>(~)</math>
 
| <math>(~)</math>
−
| <math>(~)</math>
+
| <math>\text{false}\!</math>
−
| <math>(~)</math>
+
| <math>0\!</math>
−
| <math>(~)</math>
 
−
| <math>(~)</math>
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
Line 2,786: Line 2,474:
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
(p)(q)
+
f_{0001}
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(p)~q~
+
f_{0010}
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~p~(q)
+
f_{0100}
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~p~~q~
+
f_{1000}
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
~~\operatorname{d}p~~\operatorname{d}q~~
+
0~0~0~1
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~~\operatorname{d}p~(\operatorname{d}q)~
+
0~0~1~0
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~(\operatorname{d}p)~\operatorname{d}q~~
+
0~1~0~0
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
((\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q))
+
1~0~0~0
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
~~\operatorname{d}p~(\operatorname{d}q)~
+
(p)(q)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~~\operatorname{d}p~~\operatorname{d}q~~
+
(p)~q~
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
((\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q))
+
~p~(q)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~(\operatorname{d}p)~\operatorname{d}q~~
+
~p~~q~
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
~(\operatorname{d}p)~\operatorname{d}q~~
+
\text{neither}~ p ~\text{nor}~ q
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
((\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q))
+
q ~\text{without}~ p
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~~\operatorname{d}p~~\operatorname{d}q~~
+
p ~\text{without}~ q
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~~\operatorname{d}p~(\operatorname{d}q)~
+
p ~\text{and}~ q
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
((\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q))
+
\lnot p \land \lnot q
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~(\operatorname{d}p)~\operatorname{d}q~~
+
\lnot p \land q
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~~\operatorname{d}p~(\operatorname{d}q)~
+
p \land \lnot q
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~~\operatorname{d}p~~\operatorname{d}q~~
+
p \land q
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|-
 
|-
Line 2,843: Line 2,531:
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
(p)
+
f_{0011}
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~p~
+
f_{1100}
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
\operatorname{d}p
+
0~0~1~1
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
\operatorname{d}p
+
1~1~0~0
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
\operatorname{d}p
+
(p)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
\operatorname{d}p
+
~p~
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
\operatorname{d}p
+
\text{not}~ p
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
\operatorname{d}p
+
p
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
\operatorname{d}p
+
\lnot p
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
\operatorname{d}p
+
p
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|-
 
|-
Line 2,880: Line 2,568:
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
~(p,~q)~
+
f_{0110}
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
((p,~q))
+
f_{1001}
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
(\operatorname{d}p,~\operatorname{d}q)
+
0~1~1~0
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(\operatorname{d}p,~\operatorname{d}q)
+
1~0~0~1
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
(\operatorname{d}p,~\operatorname{d}q)
+
~(p,~q)~
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(\operatorname{d}p,~\operatorname{d}q)
+
((p,~q))
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
(\operatorname{d}p,~\operatorname{d}q)
+
p ~\text{not equal to}~ q
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(\operatorname{d}p,~\operatorname{d}q)
+
p ~\text{equal to}~ q
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
(\operatorname{d}p,~\operatorname{d}q)
+
p \ne q
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(\operatorname{d}p,~\operatorname{d}q)
+
p = q
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|-
 
|-
Line 2,917: Line 2,605:
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
(q)
+
f_{0101}
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~q~
+
f_{1010}
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
\operatorname{d}q
+
0~1~0~1
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
\operatorname{d}q
+
1~0~1~0
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
\operatorname{d}q
+
(q)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
\operatorname{d}q
+
~q~
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
\operatorname{d}q
+
\text{not}~ q
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
\operatorname{d}q
+
q
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
\operatorname{d}q
+
\lnot q
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
\operatorname{d}q
+
q
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|-
 
|-
Line 2,958: Line 2,646:
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
(~p~~q~)
+
f_{0111}
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(~p~(q))
+
f_{1011}
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
((p)~q~)
+
f_{1101}
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
((p)(q))
+
f_{1110}
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
((\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q))
+
0~1~1~1
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~(\operatorname{d}p)~\operatorname{d}q~~
+
1~0~1~1
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
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+
1~1~0~1
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~~\operatorname{d}p~~\operatorname{d}q~~
+
1~1~1~0
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
~(\operatorname{d}p)~\operatorname{d}q~~
+
~(p~~q)~
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
((\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q))
+
~(p~(q))
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~~\operatorname{d}p~~\operatorname{d}q~~
+
((p)~q)~
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~~\operatorname{d}p~(\operatorname{d}q)~
+
((p)(q))
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
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+
\text{not both}~ p ~\text{and}~ q
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~~\operatorname{d}p~~\operatorname{d}q~~
+
\text{not}~ p ~\text{without}~ q
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
((\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q))
+
\text{not}~ q ~\text{without}~ p
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~(\operatorname{d}p)~\operatorname{d}q~~
+
p ~\text{or}~ q
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
~~\operatorname{d}p~~\operatorname{d}q~~
+
\lnot p \lor \lnot q
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~~\operatorname{d}p~(\operatorname{d}q)~
+
p \Rightarrow q
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~(\operatorname{d}p)~\operatorname{d}q~~
+
p \Leftarrow q
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
((\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q))
+
p \lor q
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|-
 
|-
 
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| <math>f_{15}\!</math>
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 +
| <math>1~1~1~1</math>
 
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−
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+
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−
| <math>((~))</math>
 
−
| <math>((~))</math>
 
 
|}
 
|}
  
 
<br>
 
<br>
  
−
===Wiki TeX Tables : XY===
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−
 
+
|+ <math>\text{Table A3.}~~\operatorname{E}f ~\text{Expanded Over Differential Features}~ \{ \operatorname{d}p, \operatorname{d}q \}</math>
−
<br>
 
−
 
 
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|-
 
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\\[4pt]
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\\[4pt]
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|-
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\\[4pt]
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f_8
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+
\end{matrix}</math>
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| <math>(x)(y)\!</math>
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+
<math>\begin{matrix}
−
| <math>\lnot x \land \lnot y\!</math>
+
(p)(q)
−
|-
+
\\[4pt]
−
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+
(p)~q~
−
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+
\\[4pt]
−
| <math>0~0~1~0\!</math>
+
~p~(q)
−
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+
\\[4pt]
−
| <math>y ~\text{without}~ x\!</math>
+
~p~~q~
−
| <math>\lnot x \land y\!</math>
+
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~p~~q~
 +
\\[4pt]
 +
~p~(q)
 +
\\[4pt]
 +
(p)~q~
 +
\\[4pt]
 +
(p)(q)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~p~(q)
 +
\\[4pt]
 +
~p~~q~
 +
\\[4pt]
 +
(p)(q)
 +
\\[4pt]
 +
(p)~q~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(p)~q~
 +
\\[4pt]
 +
(p)(q)
 +
\\[4pt]
 +
~p~~q~
 +
\\[4pt]
 +
~p~(q)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(p)(q)
 +
\\[4pt]
 +
(p)~q~
 +
\\[4pt]
 +
~p~(q)
 +
\\[4pt]
 +
~p~~q~
 +
\end{matrix}</math>
 
|-
 
|-
−
| <math>f_{3}\!</math>
+
|
−
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+
<math>\begin{matrix}
−
| <math>0~0~1~1\!</math>
+
f_3
−
| <math>(x)\!</math>
+
\\[4pt]
−
| <math>\text{not}~ x\!</math>
+
f_{12}
−
| <math>\lnot x\!</math>
+
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(p)
 +
\\[4pt]
 +
~p~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~p~
 +
\\[4pt]
 +
(p)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~p~
 +
\\[4pt]
 +
(p)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(p)
 +
\\[4pt]
 +
~p~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(p)
 +
\\[4pt]
 +
~p~
 +
\end{matrix}</math>
 
|-
 
|-
−
| <math>f_{4}\!</math>
+
|
−
| <math>f_{0100}\!</math>
+
<math>\begin{matrix}
−
| <math>0~1~0~0\!</math>
+
f_6
−
| <math>x~(y)\!</math>
+
\\[4pt]
−
| <math>x ~\text{without}~ y\!</math>
+
f_9
−
| <math>x \land \lnot y\!</math>
+
\end{matrix}</math>
−
|-
+
|
−
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+
<math>\begin{matrix}
−
| <math>f_{0101}\!</math>
+
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−
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+
\\[4pt]
−
| <math>(y)\!</math>
+
((p,~q))
−
| <math>\text{not}~ y\!</math>
+
\end{matrix}</math>
−
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+
|
 +
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 +
~(p,~q)~
 +
\\[4pt]
 +
((p,~q))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
((p,~q))
 +
\\[4pt]
 +
~(p,~q)~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
((p,~q))
 +
\\[4pt]
 +
~(p,~q)~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~(p,~q)~
 +
\\[4pt]
 +
((p,~q))
 +
\end{matrix}</math>
 
|-
 
|-
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+
|
−
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+
<math>\begin{matrix}
−
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+
f_5
−
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+
\\[4pt]
−
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+
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+
\end{matrix}</math>
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|-
+
|
−
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+
<math>\begin{matrix}
−
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+
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−
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+
\\[4pt]
−
| <math>(x~y)\!</math>
+
~q~
−
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+
\end{matrix}</math>
−
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+
|
−
|-
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<math>\begin{matrix}
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+
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−
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+
\\[4pt]
−
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+
(q)
−
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+
\end{matrix}</math>
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|
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+
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 +
\\[4pt]
 +
~q~
 +
\end{matrix}</math>
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|
 +
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~q~
 +
\\[4pt]
 +
(q)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(q)
 +
\\[4pt]
 +
~q~
 +
\end{matrix}</math>
 
|-
 
|-
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|
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f_7
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+
\\[4pt]
−
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\\[4pt]
−
|-
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+
\\[4pt]
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+
\\[4pt]
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+
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|
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 +
\\[4pt]
 +
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 +
\\[4pt]
 +
(~p~(q))
 +
\\[4pt]
 +
(~p~~q~)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
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((p)~q~)
 +
\\[4pt]
 +
((p)(q))
 +
\\[4pt]
 +
(~p~~q~)
 +
\\[4pt]
 +
(~p~(q))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(~p~(q))
 +
\\[4pt]
 +
(~p~~q~)
 +
\\[4pt]
 +
((p)(q))
 +
\\[4pt]
 +
((p)~q~)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(~p~~q~)
 +
\\[4pt]
 +
(~p~(q))
 +
\\[4pt]
 +
((p)~q~)
 +
\\[4pt]
 +
((p)(q))
 +
\end{matrix}</math>
 
|-
 
|-
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−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
−
|- style="background:#f0f0ff"
 
−
| &nbsp;
 
−
| align="right" | <math>y\colon\!</math>
 
−
| <math>1~0~1~0\!</math>
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
f_0
 
−
\\[4pt]
 
 
f_1
 
f_1
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
 
f_2
 
f_2
−
\\[4pt]
 
−
f_3
 
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
 
f_4
 
f_4
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
f_5
+
f_8
−
\\[4pt]
 
−
f_6
 
−
\\[4pt]
 
−
f_7
 
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
f_{0000}
+
(p)(q)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
f_{0001}
+
(p)~q~
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
f_{0010}
+
~p~(q)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
f_{0011}
+
~p~~q~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
((p,~q))
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
f_{0100}
+
~(p,~q)~
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
f_{0101}
+
~(p,~q)~
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
f_{0110}
+
((p,~q))
−
\\[4pt]
 
−
f_{0111}
 
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
0~0~0~0
+
(q)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
0~0~0~1
+
~q~
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
0~0~1~0
+
(q)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
0~0~1~1
+
~q~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(p)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
0~1~0~0
+
(p)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
0~1~0~1
+
~p~
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
0~1~1~0
+
~p~
−
\\[4pt]
 
−
0~1~1~1
 
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
Line 3,266: Line 3,054:
 
(~)
 
(~)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(x)(y)
+
(~)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(x)~y~
+
(~)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(x)~~~
+
(~)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
f_3
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~x~(y)
+
f_{12}
−
\\[4pt]
 
−
~~~(y)
 
−
\\[4pt]
 
−
(x,~y)
 
−
\\[4pt]
 
−
(x~~y)
 
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
\text{false}
+
(p)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
\text{neither}~ x ~\text{nor}~ y
+
~p~
−
\\[4pt]
 
−
y ~\text{without}~ x
 
−
\\[4pt]
 
−
\text{not}~ x
 
−
\\[4pt]
 
−
x ~\text{without}~ y
 
−
\\[4pt]
 
−
\text{not}~ y
 
−
\\[4pt]
 
−
x ~\text{not equal to}~ y
 
−
\\[4pt]
 
−
\text{not both}~ x ~\text{and}~ y
 
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
0
+
((~))
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
\lnot x \land \lnot y
+
((~))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
((~))
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
\lnot x \land y
+
((~))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(~)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
\lnot x
+
(~)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(~)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
x \land \lnot y
+
(~)
−
\\[4pt]
 
−
\lnot y
 
−
\\[4pt]
 
−
x \ne y
 
−
\\[4pt]
 
−
\lnot x \lor \lnot y
 
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
f_8
+
f_6
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
 
f_9
 
f_9
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~(p,~q)~
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
f_{10}
+
((p,~q))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(~)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
f_{11}
+
(~)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
((~))
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
f_{12}
+
((~))
−
\\[4pt]
 
−
f_{13}
 
−
\\[4pt]
 
−
f_{14}
 
−
\\[4pt]
 
−
f_{15}
 
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
f_{1000}
+
((~))
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
f_{1001}
+
((~))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(~)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
f_{1010}
+
(~)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
f_5
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
f_{1011}
+
f_{10}
−
\\[4pt]
 
−
f_{1100}
 
−
\\[4pt]
 
−
f_{1101}
 
−
\\[4pt]
 
−
f_{1110}
 
−
\\[4pt]
 
−
f_{1111}
 
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
1~0~0~0
+
(q)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
1~0~0~1
+
~q~
−
\\[4pt]
 
−
1~0~1~0
 
−
\\[4pt]
 
−
1~0~1~1
 
−
\\[4pt]
 
−
1~1~0~0
 
−
\\[4pt]
 
−
1~1~0~1
 
−
\\[4pt]
 
−
1~1~1~0
 
−
\\[4pt]
 
−
1~1~1~1
 
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
~~x~~y~~
+
((~))
−
\\[4pt]
 
−
((x,~y))
 
−
\\[4pt]
 
−
~~~~~y~~
 
−
\\[4pt]
 
−
~(x~(y))
 
−
\\[4pt]
 
−
~~x~~~~~
 
−
\\[4pt]
 
−
((x)~y)~
 
−
\\[4pt]
 
−
((x)(y))
 
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
 
((~))
 
((~))
Line 3,391: Line 3,155:
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
x ~\text{and}~ y
+
(~)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
x ~\text{equal to}~ y
+
(~)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
((~))
 +
\\[4pt]
 +
((~))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(~)
 +
\\[4pt]
 +
(~)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
f_7
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
y
+
f_{11}
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
\text{not}~ x ~\text{without}~ y
+
f_{13}
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
x
+
f_{14}
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~(p~~q)~
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
\text{not}~ y ~\text{without}~ x
+
~(p~(q))
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
x ~\text{or}~ y
+
((p)~q)~
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
\text{true}
+
((p)(q))
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
x \land y
+
((p,~q))
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
x = y
+
~(p,~q)~
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
y
+
~(p,~q)~
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
x \Rightarrow y
+
((p,~q))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~q~
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
x
+
(q)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
x \Leftarrow y
+
~q~
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
x \lor y
+
(q)
−
\\[4pt]
 
−
1
 
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
−
|}
+
|
−
 
+
<math>\begin{matrix}
−
<br>
+
~p~
−
 
 
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:#f8f8ff; text-align:center; width:90%"
 
−
|+ <math>\text{Table A2.}~~\text{Propositional Forms on Two Variables}</math>
 
−
|- style="background:#f0f0ff"
 
−
| width="15%" |
 
−
<p><math>\mathcal{L}_1</math></p>
 
−
<p><math>\text{Decimal}</math></p>
 
−
| width="15%" |
 
−
<p><math>\mathcal{L}_2</math></p>
 
−
<p><math>\text{Binary}</math></p>
 
−
| width="15%" |
 
−
<p><math>\mathcal{L}_3</math></p>
 
−
<p><math>\text{Vector}</math></p>
 
−
| width="15%" |
 
−
<p><math>\mathcal{L}_4</math></p>
 
−
<p><math>\text{Cactus}</math></p>
 
−
| width="25%" |
 
−
<p><math>\mathcal{L}_5</math></p>
 
−
<p><math>\text{English}</math></p>
 
−
| width="15%" |
 
−
<p><math>\mathcal{L}_6</math></p>
 
−
<p><math>\text{Ordinary}</math></p>
 
−
|- style="background:#f0f0ff"
 
−
| &nbsp;
 
−
| align="right" | <math>x\colon\!</math>
 
−
| <math>1~1~0~0\!</math>
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
−
|- style="background:#f0f0ff"
 
−
| &nbsp;
 
−
| align="right" | <math>y\colon\!</math>
 
−
| <math>1~0~1~0\!</math>
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
−
| &nbsp;
 
−
|-
 
−
| <math>f_0\!</math>
 
−
| <math>f_{0000}\!</math>
 
−
| <math>0~0~0~0</math>
 
−
| <math>(~)</math>
 
−
| <math>\text{false}\!</math>
 
−
| <math>0\!</math>
 
−
|-
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
f_1
 
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
f_2
+
~p~
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
f_4
+
(p)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
f_8
+
(p)
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
f_{0001}
+
(~)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
f_{0010}
+
(~)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
f_{0100}
+
(~)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
f_{1000}
+
(~)
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| <math>f_{15}\!</math>
 +
| <math>((~))</math>
 +
| <math>(~)</math>
 +
| <math>(~)</math>
 +
| <math>(~)</math>
 +
| <math>(~)</math>
 +
|}
 +
 +
<br>
 +
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="text-align:center; width:90%"
 +
|+ <math>\text{Table A5.}~~\operatorname{E}f ~\text{Expanded Over Ordinary Features}~ \{ p, q \}</math>
 +
|- style="background:#f0f0ff"
 +
| width="10%" | &nbsp;
 +
| width="18%" | <math>f\!</math>
 +
| width="18%" | <math>\operatorname{E}f|_{xy}</math>
 +
| width="18%" | <math>\operatorname{E}f|_{p(q)}</math>
 +
| width="18%" | <math>\operatorname{E}f|_{(p)q}</math>
 +
| width="18%" | <math>\operatorname{E}f|_{(p)(q)}</math>
 +
|-
 +
| <math>f_0\!</math>
 +
| <math>(~)</math>
 +
| <math>(~)</math>
 +
| <math>(~)</math>
 +
| <math>(~)</math>
 +
| <math>(~)</math>
 +
|-
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
0~0~0~1
+
f_1
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
0~0~1~0
+
f_2
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
0~1~0~0
+
f_4
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
1~0~0~0
+
f_8
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
(x)(y)
+
(p)(q)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(x)~y~
+
(p)~q~
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~x~(y)
+
~p~(q)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~x~~y~
+
~p~~q~
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
\text{neither}~ x ~\text{nor}~ y
+
~\operatorname{d}p~~\operatorname{d}q~
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
y ~\text{without}~ x
+
~\operatorname{d}p~(\operatorname{d}q)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
x ~\text{without}~ y
+
(\operatorname{d}p)~\operatorname{d}q~
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
x ~\text{and}~ y
+
(\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~\operatorname{d}p~(\operatorname{d}q)
 +
\\[4pt]
 +
~\operatorname{d}p~~\operatorname{d}q~
 +
\\[4pt]
 +
(\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q)
 +
\\[4pt]
 +
(\operatorname{d}p)~\operatorname{d}q~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(\operatorname{d}p)~\operatorname{d}q~
 +
\\[4pt]
 +
(\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q)
 +
\\[4pt]
 +
~\operatorname{d}p~~\operatorname{d}q~
 +
\\[4pt]
 +
~\operatorname{d}p~(\operatorname{d}q)
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
\lnot x \land \lnot y
+
(\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
\lnot x \land y
+
(\operatorname{d}p)~\operatorname{d}q~
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
x \land \lnot y
+
~\operatorname{d}p~(\operatorname{d}q)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
x \land y
+
~\operatorname{d}p~~\operatorname{d}q~
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|-
 
|-
Line 3,541: Line 3,329:
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
f_{0011}
+
(p)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
f_{1100}
+
~p~
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
0~0~1~1
+
~\operatorname{d}p~
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
1~1~0~0
+
(\operatorname{d}p)
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
(x)
+
~\operatorname{d}p~
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~x~
+
(\operatorname{d}p)
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
\text{not}~ x
+
(\operatorname{d}p)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
x
+
~\operatorname{d}p~
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
\lnot x
+
(\operatorname{d}p)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
x
+
~\operatorname{d}p~
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|-
 
|-
Line 3,578: Line 3,366:
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
f_{0110}
+
~(p,~q)~
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
f_{1001}
+
((p,~q))
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
0~1~1~0
+
~(\operatorname{d}p,~\operatorname{d}q)~
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
1~0~0~1
+
((\operatorname{d}p,~\operatorname{d}q))
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
~(x,~y)~
+
((\operatorname{d}p,~\operatorname{d}q))
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
((x,~y))
+
~(\operatorname{d}p,~\operatorname{d}q)~
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
x ~\text{not equal to}~ y
+
((\operatorname{d}p,~\operatorname{d}q))
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
x ~\text{equal to}~ y
+
~(\operatorname{d}p,~\operatorname{d}q)~
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
x \ne y
+
~(\operatorname{d}p,~\operatorname{d}q)~
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
x = y
+
((\operatorname{d}p,~\operatorname{d}q))
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|-
 
|-
Line 3,615: Line 3,403:
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
f_{0101}
+
(q)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
f_{1010}
+
~q~
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
0~1~0~1
+
~\operatorname{d}q~
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
1~0~1~0
+
(\operatorname{d}q)
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
(y)
+
(\operatorname{d}q)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~y~
+
~\operatorname{d}q~
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
\text{not}~ y
+
~\operatorname{d}q~
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
y
+
(\operatorname{d}q)
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
\lnot y
+
(\operatorname{d}q)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
y
+
~\operatorname{d}q~
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|-
 
|-
Line 3,656: Line 3,444:
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
f_{0111}
+
(~p~~q~)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
f_{1011}
+
(~p~(q))
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
f_{1101}
+
((p)~q~)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
f_{1110}
+
((p)(q))
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
0~1~1~1
+
((\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q))
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
1~0~1~1
+
((\operatorname{d}p)~\operatorname{d}q~)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
1~1~0~1
+
(~\operatorname{d}p~(\operatorname{d}q))
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
1~1~1~0
+
(~\operatorname{d}p~~\operatorname{d}q~)
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
~(x~~y)~
+
((\operatorname{d}p)~\operatorname{d}q~)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~(x~(y))
+
((\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q))
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
((x)~y)~
+
(~\operatorname{d}p~~\operatorname{d}q~)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
((x)(y))
+
(~\operatorname{d}p~(\operatorname{d}q))
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
\text{not both}~ x ~\text{and}~ y
+
(~\operatorname{d}p~(\operatorname{d}q))
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
\text{not}~ x ~\text{without}~ y
+
(~\operatorname{d}p~~\operatorname{d}q~)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
\text{not}~ y ~\text{without}~ x
+
((\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q))
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
x ~\text{or}~ y
+
((\operatorname{d}p)~\operatorname{d}q~)
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
\lnot x \lor \lnot y
+
(~\operatorname{d}p~~\operatorname{d}q~)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
x \Rightarrow y
+
(~\operatorname{d}p~(\operatorname{d}q))
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
x \Leftarrow y
+
((\operatorname{d}p)~\operatorname{d}q~)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
x \lor y
+
((\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q))
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|-
 
|-
 
| <math>f_{15}\!</math>
 
| <math>f_{15}\!</math>
−
| <math>f_{1111}\!</math>
 
−
| <math>1~1~1~1</math>
 
 
| <math>((~))</math>
 
| <math>((~))</math>
−
| <math>\text{true}\!</math>
+
| <math>((~))</math>
−
| <math>1\!</math>
+
| <math>((~))</math>
 +
| <math>((~))</math>
 +
| <math>((~))</math>
 
|}
 
|}
  
 
<br>
 
<br>
  
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:#f8f8ff; text-align:center; width:90%"
+
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="text-align:center; width:90%"
−
|+ <math>\text{Table A3.}~~\operatorname{E}f ~\text{Expanded Over Differential Features}~ \{ \operatorname{d}x, \operatorname{d}y \}</math>
+
|+ <math>\text{Table A6.}~~\operatorname{D}f ~\text{Expanded Over Ordinary Features}~ \{ p, q \}</math>
 
|- style="background:#f0f0ff"
 
|- style="background:#f0f0ff"
 
| width="10%" | &nbsp;
 
| width="10%" | &nbsp;
 
| width="18%" | <math>f\!</math>
 
| width="18%" | <math>f\!</math>
−
| width="18%" |  
+
| width="18%" | <math>\operatorname{D}f|_{xy}</math>
−
<p><math>\operatorname{T}_{11} f</math></p>
+
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<p><math>\operatorname{E}f|_{\operatorname{d}x~\operatorname{d}y}</math></p>
+
| width="18%" | <math>\operatorname{D}f|_{(p)q}</math>
−
| width="18%" |
+
| width="18%" | <math>\operatorname{D}f|_{(p)(q)}</math>
−
<p><math>\operatorname{T}_{10} f</math></p>
 
−
<p><math>\operatorname{E}f|_{\operatorname{d}x(\operatorname{d}y)}</math></p>
 
−
| width="18%" |
 
−
<p><math>\operatorname{T}_{01} f</math></p>
 
−
<p><math>\operatorname{E}f|_{(\operatorname{d}x)\operatorname{d}y}</math></p>
 
−
| width="18%" |
 
−
<p><math>\operatorname{T}_{00} f</math></p>
 
−
<p><math>\operatorname{E}f|_{(\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)}</math></p>
 
 
|-
 
|-
 
| <math>f_0\!</math>
 
| <math>f_0\!</math>
Line 3,752: Line 3,532:
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
(x)(y)
+
(p)(q)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(x)~y~
+
(p)~q~
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~x~(y)
+
~p~(q)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~x~~y~
+
~p~~q~
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
~x~~y~
+
~~\operatorname{d}p~~\operatorname{d}q~~
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~x~(y)
+
~~\operatorname{d}p~(\operatorname{d}q)~
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(x)~y~
+
~(\operatorname{d}p)~\operatorname{d}q~~
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(x)(y)
+
((\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q))
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
~x~(y)
+
~~\operatorname{d}p~(\operatorname{d}q)~
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~x~~y~
+
~~\operatorname{d}p~~\operatorname{d}q~~
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(x)(y)
+
((\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q))
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(x)~y~
+
~(\operatorname{d}p)~\operatorname{d}q~~
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
(x)~y~
+
~(\operatorname{d}p)~\operatorname{d}q~~
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(x)(y)
+
((\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q))
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~x~~y~
+
~~\operatorname{d}p~~\operatorname{d}q~~
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~x~(y)
+
~~\operatorname{d}p~(\operatorname{d}q)~
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
(x)(y)
+
((\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q))
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(x)~y~
+
~(\operatorname{d}p)~\operatorname{d}q~~
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~x~(y)
+
~~\operatorname{d}p~(\operatorname{d}q)~
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~x~~y~
+
~~\operatorname{d}p~~\operatorname{d}q~~
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|-
 
|-
Line 3,809: Line 3,589:
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
(x)
+
(p)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~x~
+
~p~
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
~x~
+
\operatorname{d}p
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(x)
+
\operatorname{d}p
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
~x~
+
\operatorname{d}p
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(x)
+
\operatorname{d}p
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
(x)
+
\operatorname{d}p
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~x~
+
\operatorname{d}p
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
(x)
+
\operatorname{d}p
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~x~
+
\operatorname{d}p
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|-
 
|-
Line 3,846: Line 3,626:
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
~(x,~y)~
+
~(p,~q)~
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
((x,~y))
+
((p,~q))
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
~(x,~y)~
+
(\operatorname{d}p,~\operatorname{d}q)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
((x,~y))
+
(\operatorname{d}p,~\operatorname{d}q)
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
((x,~y))
+
(\operatorname{d}p,~\operatorname{d}q)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~(x,~y)~
+
(\operatorname{d}p,~\operatorname{d}q)
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
((x,~y))
+
(\operatorname{d}p,~\operatorname{d}q)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~(x,~y)~
+
(\operatorname{d}p,~\operatorname{d}q)
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
~(x,~y)~
+
(\operatorname{d}p,~\operatorname{d}q)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
((x,~y))
+
(\operatorname{d}p,~\operatorname{d}q)
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|-
 
|-
Line 3,883: Line 3,663:
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
(y)
+
(q)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~y~
+
~q~
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
~y~
+
\operatorname{d}q
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(y)
+
\operatorname{d}q
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
(y)
+
\operatorname{d}q
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~y~
+
\operatorname{d}q
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
~y~
+
\operatorname{d}q
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(y)
+
\operatorname{d}q
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
(y)
+
\operatorname{d}q
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~y~
+
\operatorname{d}q
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|-
 
|-
Line 3,924: Line 3,704:
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
(~x~~y~)
+
(~p~~q~)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(~x~(y))
+
(~p~(q))
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
((x)~y~)
+
((p)~q~)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
((x)(y))
+
((p)(q))
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
((x)(y))
+
((\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q))
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
((x)~y~)
+
~(\operatorname{d}p)~\operatorname{d}q~~
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(~x~(y))
+
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\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(~x~~y~)
+
~~\operatorname{d}p~~\operatorname{d}q~~
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
((x)~y~)
+
~(\operatorname{d}p)~\operatorname{d}q~~
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
((x)(y))
+
((\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q))
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(~x~~y~)
+
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\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(~x~(y))
+
~~\operatorname{d}p~(\operatorname{d}q)~
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
(~x~(y))
+
~~\operatorname{d}p~(\operatorname{d}q)~
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(~x~~y~)
+
~~\operatorname{d}p~~\operatorname{d}q~~
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
((x)(y))
+
((\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q))
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
((x)~y~)
+
~(\operatorname{d}p)~\operatorname{d}q~~
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
(~x~~y~)
+
~~\operatorname{d}p~~\operatorname{d}q~~
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(~x~(y))
+
~~\operatorname{d}p~(\operatorname{d}q)~
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
((x)~y~)
+
~(\operatorname{d}p)~\operatorname{d}q~~
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
((x)(y))
+
((\operatorname{d}p)(\operatorname{d}q))
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|-
 
|-
Line 3,979: Line 3,759:
 
| <math>((~))</math>
 
| <math>((~))</math>
 
| <math>((~))</math>
 
| <math>((~))</math>
−
|- style="background:#f0f0ff"
 
−
| colspan="2" | <math>\text{Fixed Point Total}\!</math>
 
−
| <math>4\!</math>
 
−
| <math>4\!</math>
 
−
| <math>4\!</math>
 
−
| <math>16\!</math>
 
 
|}
 
|}
  
 
<br>
 
<br>
  
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:#f8f8ff; text-align:center; width:90%"
+
===Wiki TeX Tables : XY===
−
|+ <math>\text{Table A4.}~~\operatorname{D}f ~\text{Expanded Over Differential Features}~ \{ \operatorname{d}x, \operatorname{d}y \}</math>
+
 
 +
<br>
 +
 
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="text-align:center; width:90%"
 +
|+ <math>\text{Table A1.}~~\text{Propositional Forms on Two Variables}</math>
 
|- style="background:#f0f0ff"
 
|- style="background:#f0f0ff"
−
| width="10%" | &nbsp;
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−
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+
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+
<p><math>\text{Cactus}</math></p>
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| <math>(~)</math>
+
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−
| <math>(~)</math>
+
<p><math>\mathcal{L}_5</math></p>
−
| <math>(~)</math>
+
<p><math>\text{English}</math></p>
−
| <math>(~)</math>
+
| width="15%" |
−
| <math>(~)</math>
+
<p><math>\mathcal{L}_6</math></p>
 +
<p><math>\text{Ordinary}</math></p>
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|- style="background:#f0f0ff"
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| align="right" | <math>y\colon\!</math>
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 +
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 +
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 +
| <math>\text{false}\!</math>
 +
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|-
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 +
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 +
| <math>0~0~0~1\!</math>
 +
| <math>(x)(y)\!</math>
 +
| <math>\text{neither}~ x ~\text{nor}~ y\!</math>
 +
| <math>\lnot x \land \lnot y\!</math>
 
|-
 
|-
−
|
+
| <math>f_{2}\!</math>
−
<math>\begin{matrix}
+
| <math>f_{0010}\!</math>
−
f_1
+
| <math>0~0~1~0\!</math>
−
\\[4pt]
+
| <math>(x)~y\!</math>
−
f_2
+
| <math>y ~\text{without}~ x\!</math>
−
\\[4pt]
+
| <math>\lnot x \land y\!</math>
−
f_4
 
−
\\[4pt]
 
−
f_8
 
−
\end{matrix}</math>
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
(x)(y)
 
−
\\[4pt]
 
−
(x)~y~
 
−
\\[4pt]
 
−
~x~(y)
 
−
\\[4pt]
 
−
~x~~y~
 
−
\end{matrix}</math>
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
((x,~y))
 
−
\\[4pt]
 
−
~(x,~y)~
 
−
\\[4pt]
 
−
~(x,~y)~
 
−
\\[4pt]
 
−
((x,~y))
 
−
\end{matrix}</math>
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
(y)
 
−
\\[4pt]
 
−
~y~
 
−
\\[4pt]
 
−
(y)
 
−
\\[4pt]
 
−
~y~
 
−
\end{matrix}</math>
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
(x)
 
−
\\[4pt]
 
−
(x)
 
−
\\[4pt]
 
−
~x~
 
−
\\[4pt]
 
−
~x~
 
−
\end{matrix}</math>
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
(~)
 
−
\\[4pt]
 
−
(~)
 
−
\\[4pt]
 
−
(~)
 
−
\\[4pt]
 
−
(~)
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|-
 
|-
−
|
+
| <math>f_{3}\!</math>
−
<math>\begin{matrix}
+
| <math>f_{0011}\!</math>
−
f_3
+
| <math>0~0~1~1\!</math>
−
\\[4pt]
+
| <math>(x)\!</math>
−
f_{12}
+
| <math>\text{not}~ x\!</math>
−
\end{matrix}</math>
+
| <math>\lnot x\!</math>
−
|
+
|-
−
<math>\begin{matrix}
+
| <math>f_{4}\!</math>
−
(x)
+
| <math>f_{0100}\!</math>
−
\\[4pt]
+
| <math>0~1~0~0\!</math>
−
~x~
+
| <math>x~(y)\!</math>
−
\end{matrix}</math>
+
| <math>x ~\text{without}~ y\!</math>
−
|
+
| <math>x \land \lnot y\!</math>
−
<math>\begin{matrix}
 
−
((~))
 
−
\\[4pt]
 
−
((~))
 
−
\end{matrix}</math>
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
((~))
 
−
\\[4pt]
 
−
((~))
 
−
\end{matrix}</math>
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
(~)
 
−
\\[4pt]
 
−
(~)
 
−
\end{matrix}</math>
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
(~)
 
−
\\[4pt]
 
−
(~)
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|-
 
|-
−
|
+
| <math>f_{5}\!</math>
−
<math>\begin{matrix}
+
| <math>f_{0101}\!</math>
−
f_6
+
| <math>0~1~0~1\!</math>
−
\\[4pt]
+
| <math>(y)\!</math>
−
f_9
+
| <math>\text{not}~ y\!</math>
−
\end{matrix}</math>
+
| <math>\lnot y\!</math>
−
|
+
|-
−
<math>\begin{matrix}
+
| <math>f_{6}\!</math>
−
~(x,~y)~
+
| <math>f_{0110}\!</math>
−
\\[4pt]
+
| <math>0~1~1~0\!</math>
−
((x,~y))
+
| <math>(x,~y)\!</math>
−
\end{matrix}</math>
+
| <math>x ~\text{not equal to}~ y\!</math>
−
|
+
| <math>x \ne y\!</math>
−
<math>\begin{matrix}
+
|-
−
(~)
+
| <math>f_{7}\!</math>
−
\\[4pt]
+
| <math>f_{0111}\!</math>
−
(~)
+
| <math>0~1~1~1\!</math>
−
\end{matrix}</math>
+
| <math>(x~y)\!</math>
−
|
+
| <math>\text{not both}~ x ~\text{and}~ y\!</math>
−
<math>\begin{matrix}
+
| <math>\lnot x \lor \lnot y\!</math>
−
((~))
 
−
\\[4pt]
 
−
((~))
 
−
\end{matrix}</math>
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
((~))
 
−
\\[4pt]
 
−
((~))
 
−
\end{matrix}</math>
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
(~)
 
−
\\[4pt]
 
−
(~)
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|-
 
|-
−
|
+
| <math>f_{8}\!</math>
−
<math>\begin{matrix}
+
| <math>f_{1000}\!</math>
−
f_5
+
| <math>1~0~0~0\!</math>
−
\\[4pt]
+
| <math>x~y\!</math>
−
f_{10}
+
| <math>x ~\text{and}~ y\!</math>
−
\end{matrix}</math>
+
| <math>x \land y\!</math>
−
|
+
|-
−
<math>\begin{matrix}
+
| <math>f_{9}\!</math>
−
(y)
+
| <math>f_{1001}\!</math>
−
\\[4pt]
+
| <math>1~0~0~1\!</math>
−
~y~
+
| <math>((x,~y))\!</math>
−
\end{matrix}</math>
+
| <math>x ~\text{equal to}~ y\!</math>
−
|
+
| <math>x = y\!</math>
−
<math>\begin{matrix}
+
|-
−
((~))
+
| <math>f_{10}\!</math>
−
\\[4pt]
+
| <math>f_{1010}\!</math>
−
((~))
+
| <math>1~0~1~0\!</math>
−
\end{matrix}</math>
+
| <math>y\!</math>
−
|
+
| <math>y\!</math>
−
<math>\begin{matrix}
+
| <math>y\!</math>
−
(~)
 
−
\\[4pt]
 
−
(~)
 
−
\end{matrix}</math>
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
((~))
 
−
\\[4pt]
 
−
((~))
 
−
\end{matrix}</math>
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
(~)
 
−
\\[4pt]
 
−
(~)
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|-
 
|-
−
|
+
| <math>f_{11}\!</math>
−
<math>\begin{matrix}
+
| <math>f_{1011}\!</math>
−
f_7
+
| <math>1~0~1~1\!</math>
−
\\[4pt]
+
| <math>(x~(y))\!</math>
−
f_{11}
+
| <math>\text{not}~ x ~\text{without}~ y\!</math>
−
\\[4pt]
+
| <math>x \Rightarrow y\!</math>
−
f_{13}
 
−
\\[4pt]
 
−
f_{14}
 
−
\end{matrix}</math>
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
~(x~~y)~
 
−
\\[4pt]
 
−
~(x~(y))
 
−
\\[4pt]
 
−
((x)~y)~
 
−
\\[4pt]
 
−
((x)(y))
 
−
\end{matrix}</math>
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
((x,~y))
 
−
\\[4pt]
 
−
~(x,~y)~
 
−
\\[4pt]
 
−
~(x,~y)~
 
−
\\[4pt]
 
−
((x,~y))
 
−
\end{matrix}</math>
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
~y~
 
−
\\[4pt]
 
−
(y)
 
−
\\[4pt]
 
−
~y~
 
−
\\[4pt]
 
−
(y)
 
−
\end{matrix}</math>
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
~x~
 
−
\\[4pt]
 
−
~x~
 
−
\\[4pt]
 
−
(x)
 
−
\\[4pt]
 
−
(x)
 
−
\end{matrix}</math>
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
(~)
 
−
\\[4pt]
 
−
(~)
 
−
\\[4pt]
 
−
(~)
 
−
\\[4pt]
 
−
(~)
 
−
\end{matrix}</math>
 
 
|-
 
|-
−
| <math>f_{15}\!</math>
+
| <math>f_{12}\!</math>
−
| <math>((~))</math>
+
| <math>f_{1100}\!</math>
−
| <math>(~)</math>
+
| <math>1~1~0~0\!</math>
−
| <math>(~)</math>
+
| <math>x\!</math>
−
| <math>(~)</math>
+
| <math>x\!</math>
−
| <math>(~)</math>
+
| <math>x\!</math>
 +
|-
 +
| <math>f_{13}\!</math>
 +
| <math>f_{1101}\!</math>
 +
| <math>1~1~0~1\!</math>
 +
| <math>((x)~y)\!</math>
 +
| <math>\text{not}~ y ~\text{without}~ x\!</math>
 +
| <math>x \Leftarrow y\!</math>
 +
|-
 +
| <math>f_{14}\!</math>
 +
| <math>f_{1110}\!</math>
 +
| <math>1~1~1~0\!</math>
 +
| <math>((x)(y))\!</math>
 +
| <math>x ~\text{or}~ y\!</math>
 +
| <math>x \lor y\!</math>
 +
|-
 +
| <math>f_{15}\!</math>
 +
| <math>f_{1111}\!</math>
 +
| <math>1~1~1~1\!</math>
 +
| <math>((~))\!</math>
 +
| <math>\text{true}\!</math>
 +
| <math>1\!</math>
 
|}
 
|}
  
 
<br>
 
<br>
  
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:#f8f8ff; text-align:center; width:90%"
+
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="text-align:center; width:90%"
−
|+ <math>\text{Table A5.}~~\operatorname{E}f ~\text{Expanded Over Ordinary Features}~ \{ x, y \}</math>
+
|+ <math>\text{Table A1.}~~\text{Propositional Forms on Two Variables}</math>
 
|- style="background:#f0f0ff"
 
|- style="background:#f0f0ff"
−
| width="10%" | &nbsp;
+
| width="15%" |
−
| width="18%" | <math>f\!</math>
+
<p><math>\mathcal{L}_1</math></p>
−
| width="18%" | <math>\operatorname{E}f|_{xy}</math>
+
<p><math>\text{Decimal}</math></p>
−
| width="18%" | <math>\operatorname{E}f|_{x(y)}</math>
+
| width="15%" |
−
| width="18%" | <math>\operatorname{E}f|_{(x)y}</math>
+
<p><math>\mathcal{L}_2</math></p>
−
| width="18%" | <math>\operatorname{E}f|_{(x)(y)}</math>
+
<p><math>\text{Binary}</math></p>
−
|-
+
| width="15%" |
−
| <math>f_0\!</math>
+
<p><math>\mathcal{L}_3</math></p>
−
| <math>(~)</math>
+
<p><math>\text{Vector}</math></p>
−
| <math>(~)</math>
+
| width="15%" |
−
| <math>(~)</math>
+
<p><math>\mathcal{L}_4</math></p>
−
| <math>(~)</math>
+
<p><math>\text{Cactus}</math></p>
−
| <math>(~)</math>
+
| width="25%" |
−
|-
+
<p><math>\mathcal{L}_5</math></p>
−
|
+
<p><math>\text{English}</math></p>
 +
| width="15%" |
 +
<p><math>\mathcal{L}_6</math></p>
 +
<p><math>\text{Ordinary}</math></p>
 +
|- style="background:#f0f0ff"
 +
| &nbsp;
 +
| align="right" | <math>x\colon\!</math>
 +
| <math>1~1~0~0\!</math>
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
|- style="background:#f0f0ff"
 +
| &nbsp;
 +
| align="right" | <math>y\colon\!</math>
 +
| <math>1~0~1~0\!</math>
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
|-
 +
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
 +
f_0
 +
\\[4pt]
 
f_1
 
f_1
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
 
f_2
 
f_2
 +
\\[4pt]
 +
f_3
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
 
f_4
 
f_4
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
f_8
+
f_5
 +
\\[4pt]
 +
f_6
 +
\\[4pt]
 +
f_7
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
(x)(y)
+
f_{0000}
 +
\\[4pt]
 +
f_{0001}
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(x)~y~
+
f_{0010}
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~x~(y)
+
f_{0011}
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~x~~y~
+
f_{0100}
−
\end{matrix}</math>
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~
 
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y)
+
f_{0101}
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~
+
f_{0110}
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)
+
f_{0111}
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y)
+
0~0~0~0
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~
+
0~0~0~1
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)
+
0~0~1~0
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~
+
0~0~1~1
 +
\\[4pt]
 +
0~1~0~0
 +
\\[4pt]
 +
0~1~0~1
 +
\\[4pt]
 +
0~1~1~0
 +
\\[4pt]
 +
0~1~1~1
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
(\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~
+
(~)
 +
\\[4pt]
 +
(x)(y)
 +
\\[4pt]
 +
(x)~y~
 +
\\[4pt]
 +
(x)~~~
 +
\\[4pt]
 +
~x~(y)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)
+
~~~(y)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~
+
(x,~y)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y)
+
(x~~y)
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
(\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)
+
\text{false}
 +
\\[4pt]
 +
\text{neither}~ x ~\text{nor}~ y
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~
+
y ~\text{without}~ x
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y)
+
\text{not}~ x
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~
+
x ~\text{without}~ y
−
\end{matrix}</math>
 
−
|-
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
f_3
 
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
f_{12}
+
\text{not}~ y
−
\end{matrix}</math>
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
(x)
 
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~x~
+
x ~\text{not equal to}~ y
−
\end{matrix}</math>
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
~\operatorname{d}x~
 
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(\operatorname{d}x)
+
\text{not both}~ x ~\text{and}~ y
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
~\operatorname{d}x~
+
0
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(\operatorname{d}x)
+
\lnot x \land \lnot y
−
\end{matrix}</math>
+
\\[4pt]
−
|
+
\lnot x \land y
−
<math>\begin{matrix}
+
\\[4pt]
−
(\operatorname{d}x)
+
\lnot x
 +
\\[4pt]
 +
x \land \lnot y
 +
\\[4pt]
 +
\lnot y
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~\operatorname{d}x~
+
x \ne y
−
\end{matrix}</math>
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
(\operatorname{d}x)
 
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~\operatorname{d}x~
+
\lnot x \lor \lnot y
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
f_6
+
f_8
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
 
f_9
 
f_9
 +
\\[4pt]
 +
f_{10}
 +
\\[4pt]
 +
f_{11}
 +
\\[4pt]
 +
f_{12}
 +
\\[4pt]
 +
f_{13}
 +
\\[4pt]
 +
f_{14}
 +
\\[4pt]
 +
f_{15}
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
~(x,~y)~
+
f_{1000}
 +
\\[4pt]
 +
f_{1001}
 +
\\[4pt]
 +
f_{1010}
 +
\\[4pt]
 +
f_{1011}
 +
\\[4pt]
 +
f_{1100}
 +
\\[4pt]
 +
f_{1101}
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
((x,~y))
+
f_{1110}
−
\end{matrix}</math>
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
~(\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y)~
 
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
((\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y))
+
f_{1111}
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
((\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y))
+
1~0~0~0
 +
\\[4pt]
 +
1~0~0~1
 +
\\[4pt]
 +
1~0~1~0
 +
\\[4pt]
 +
1~0~1~1
 +
\\[4pt]
 +
1~1~0~0
 +
\\[4pt]
 +
1~1~0~1
 +
\\[4pt]
 +
1~1~1~0
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~(\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y)~
+
1~1~1~1
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
((\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y))
+
~~x~~y~~
 +
\\[4pt]
 +
((x,~y))
 +
\\[4pt]
 +
~~~~~y~~
 +
\\[4pt]
 +
~(x~(y))
 +
\\[4pt]
 +
~~x~~~~~
 +
\\[4pt]
 +
((x)~y)~
 +
\\[4pt]
 +
((x)(y))
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~(\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y)~
+
((~))
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
~(\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y)~
+
x ~\text{and}~ y
 +
\\[4pt]
 +
x ~\text{equal to}~ y
 +
\\[4pt]
 +
y
 +
\\[4pt]
 +
\text{not}~ x ~\text{without}~ y
 +
\\[4pt]
 +
x
 +
\\[4pt]
 +
\text{not}~ y ~\text{without}~ x
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
((\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y))
+
x ~\text{or}~ y
−
\end{matrix}</math>
 
−
|-
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
f_5
 
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
f_{10}
+
\text{true}
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
(y)
+
x \land y
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~y~
+
x = y
−
\end{matrix}</math>
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
~\operatorname{d}y~
 
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(\operatorname{d}y)
+
y
−
\end{matrix}</math>
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
(\operatorname{d}y)
 
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~\operatorname{d}y~
+
x \Rightarrow y
−
\end{matrix}</math>
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
~\operatorname{d}y~
 
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(\operatorname{d}y)
+
x
−
\end{matrix}</math>
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
(\operatorname{d}y)
 
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~\operatorname{d}y~
+
x \Leftarrow y
−
\end{matrix}</math>
 
−
|-
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
f_7
 
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
f_{11}
+
x \lor y
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
f_{13}
+
1
−
\\[4pt]
 
−
f_{14}
 
−
\end{matrix}</math>
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
(~x~~y~)
 
−
\\[4pt]
 
−
(~x~(y))
 
−
\\[4pt]
 
−
((x)~y~)
 
−
\\[4pt]
 
−
((x)(y))
 
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 +
|}
 +
 +
<br>
 +
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="text-align:center; width:90%"
 +
|+ <math>\text{Table A2.}~~\text{Propositional Forms on Two Variables}</math>
 +
|- style="background:#f0f0ff"
 +
| width="15%" |
 +
<p><math>\mathcal{L}_1</math></p>
 +
<p><math>\text{Decimal}</math></p>
 +
| width="15%" |
 +
<p><math>\mathcal{L}_2</math></p>
 +
<p><math>\text{Binary}</math></p>
 +
| width="15%" |
 +
<p><math>\mathcal{L}_3</math></p>
 +
<p><math>\text{Vector}</math></p>
 +
| width="15%" |
 +
<p><math>\mathcal{L}_4</math></p>
 +
<p><math>\text{Cactus}</math></p>
 +
| width="25%" |
 +
<p><math>\mathcal{L}_5</math></p>
 +
<p><math>\text{English}</math></p>
 +
| width="15%" |
 +
<p><math>\mathcal{L}_6</math></p>
 +
<p><math>\text{Ordinary}</math></p>
 +
|- style="background:#f0f0ff"
 +
| &nbsp;
 +
| align="right" | <math>x\colon\!</math>
 +
| <math>1~1~0~0\!</math>
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
|- style="background:#f0f0ff"
 +
| &nbsp;
 +
| align="right" | <math>y\colon\!</math>
 +
| <math>1~0~1~0\!</math>
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
| &nbsp;
 +
|-
 +
| <math>f_0\!</math>
 +
| <math>f_{0000}\!</math>
 +
| <math>0~0~0~0</math>
 +
| <math>(~)</math>
 +
| <math>\text{false}\!</math>
 +
| <math>0\!</math>
 +
|-
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))
+
f_1
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
((\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~)
+
f_2
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y))
+
f_4
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~)
+
f_8
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
((\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~)
+
f_{0001}
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))
+
f_{0010}
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~)
+
f_{0100}
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y))
+
f_{1000}
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
(~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y))
+
0~0~0~1
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~)
+
0~0~1~0
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))
+
0~1~0~0
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
((\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~)
+
1~0~0~0
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
(~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~)
+
(x)(y)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y))
+
(x)~y~
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
((\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~)
+
~x~(y)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))
+
~x~~y~
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
−
|-
 
−
| <math>f_{15}\!</math>
 
−
| <math>((~))</math>
 
−
| <math>((~))</math>
 
−
| <math>((~))</math>
 
−
| <math>((~))</math>
 
−
| <math>((~))</math>
 
−
|}
 
−
 
−
<br>
 
−
 
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:#f8f8ff; text-align:center; width:90%"
 
−
|+ <math>\text{Table A6.}~~\operatorname{D}f ~\text{Expanded Over Ordinary Features}~ \{ x, y \}</math>
 
−
|- style="background:#f0f0ff"
 
−
| width="10%" | &nbsp;
 
−
| width="18%" | <math>f\!</math>
 
−
| width="18%" | <math>\operatorname{D}f|_{xy}</math>
 
−
| width="18%" | <math>\operatorname{D}f|_{x(y)}</math>
 
−
| width="18%" | <math>\operatorname{D}f|_{(x)y}</math>
 
−
| width="18%" | <math>\operatorname{D}f|_{(x)(y)}</math>
 
−
|-
 
−
| <math>f_0\!</math>
 
−
| <math>(~)</math>
 
−
| <math>(~)</math>
 
−
| <math>(~)</math>
 
−
| <math>(~)</math>
 
−
| <math>(~)</math>
 
−
|-
 
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
f_1
+
\text{neither}~ x ~\text{nor}~ y
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
f_2
+
y ~\text{without}~ x
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
f_4
+
x ~\text{without}~ y
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
f_8
+
x ~\text{and}~ y
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
(x)(y)
+
\lnot x \land \lnot y
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(x)~y~
+
\lnot x \land y
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~x~(y)
+
x \land \lnot y
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~x~~y~
+
x \land y
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 +
|-
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
~~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~~
+
f_3
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y)~
+
f_{12}
−
\\[4pt]
 
−
~(\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~~
 
−
\\[4pt]
 
−
((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))
 
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
~~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y)~
+
f_{0011}
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~~
+
f_{1100}
−
\\[4pt]
 
−
((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))
 
−
\\[4pt]
 
−
~(\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~~
 
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
~(\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~~
+
0~0~1~1
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))
+
1~1~0~0
−
\\[4pt]
 
−
~~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~~
 
−
\\[4pt]
 
−
~~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y)~
 
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))
+
(x)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~(\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~~
+
~x~
−
\\[4pt]
 
−
~~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y)~
 
−
\\[4pt]
 
−
~~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~~
 
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
−
|-
 
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
f_3
+
\text{not}~ x
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
f_{12}
+
x
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
(x)
+
\lnot x
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~x~
+
x
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 +
|-
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
\operatorname{d}x
+
f_6
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
\operatorname{d}x
+
f_9
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
\operatorname{d}x
+
f_{0110}
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
\operatorname{d}x
+
f_{1001}
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
\operatorname{d}x
+
0~1~1~0
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
\operatorname{d}x
+
1~0~0~1
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
\operatorname{d}x
+
~(x,~y)~
−
\\[4pt]
 
−
\operatorname{d}x
 
−
\end{matrix}</math>
 
−
|-
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
f_6
 
−
\\[4pt]
 
−
f_9
 
−
\end{matrix}</math>
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
~(x,~y)~
 
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
 
((x,~y))
 
((x,~y))
Line 4,642: Line 4,342:
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
(\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y)
+
x ~\text{not equal to}~ y
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y)
+
x ~\text{equal to}~ y
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
(\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y)
+
x \ne y
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y)
+
x = y
−
\end{matrix}</math>
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
(\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y)
 
−
\\[4pt]
 
−
(\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y)
 
−
\end{matrix}</math>
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
(\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y)
 
−
\\[4pt]
 
−
(\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y)
 
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|-
 
|-
Line 4,673: Line 4,361:
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
(y)
+
f_{0101}
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~y~
+
f_{1010}
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
\operatorname{d}y
+
0~1~0~1
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
\operatorname{d}y
+
1~0~1~0
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
\operatorname{d}y
+
(y)
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
\operatorname{d}y
+
~y~
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
\operatorname{d}y
+
\text{not}~ y
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
\operatorname{d}y
+
y
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
\operatorname{d}y
+
\lnot y
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
\operatorname{d}y
+
y
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|-
 
|-
Line 4,714: Line 4,402:
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
(~x~~y~)
+
f_{0111}
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
(~x~(y))
+
f_{1011}
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
((x)~y~)
+
f_{1101}
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
((x)(y))
+
f_{1110}
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))
+
0~1~1~1
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~(\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~~
+
1~0~1~1
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y)~
+
1~1~0~1
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~~
+
1~1~1~0
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
~(\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~~
+
~(x~~y)~
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))
+
~(x~(y))
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~~
+
((x)~y)~
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y)~
+
((x)(y))
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
~~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y)~
+
\text{not both}~ x ~\text{and}~ y
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~~
+
\text{not}~ x ~\text{without}~ y
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))
+
\text{not}~ y ~\text{without}~ x
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~(\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~~
+
x ~\text{or}~ y
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
~~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~~
+
\lnot x \lor \lnot y
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y)~
+
x \Rightarrow y
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
~(\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~~
+
x \Leftarrow y
 
\\[4pt]
 
\\[4pt]
−
((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))
+
x \lor y
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|-
 
|-
 
| <math>f_{15}\!</math>
 
| <math>f_{15}\!</math>
 +
| <math>f_{1111}\!</math>
 +
| <math>1~1~1~1</math>
 
| <math>((~))</math>
 
| <math>((~))</math>
−
| <math>((~))</math>
+
| <math>\text{true}\!</math>
−
| <math>((~))</math>
+
| <math>1\!</math>
−
| <math>((~))</math>
 
−
| <math>((~))</math>
 
 
|}
 
|}
  
 
<br>
 
<br>
  
−
===Klein Four-Group V<sub>4</sub>===
+
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="text-align:center; width:90%"
−
 
+
|+ <math>\text{Table A3.}~~\operatorname{E}f ~\text{Expanded Over Differential Features}~ \{ \operatorname{d}x, \operatorname{d}y \}</math>
−
<br>
+
|- style="background:#f0f0ff"
−
 
+
| width="10%" | &nbsp;
−
{| align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" style="border-left:1px solid black; border-top:1px solid black; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; text-align:center; width:60%"
+
| width="18%" | <math>f\!</math>
−
|- style="height:50px"
+
| width="18%" |  
−
| width="12%" style="border-bottom:1px solid black; border-right:1px solid black" | <math>\cdot</math>
+
<p><math>\operatorname{T}_{11} f</math></p>
−
| width="22%" style="border-bottom:1px solid black" |
+
<p><math>\operatorname{E}f|_{\operatorname{d}x~\operatorname{d}y}</math></p>
−
<math>\operatorname{T}_{00}</math>
+
| width="18%" |
−
| width="22%" style="border-bottom:1px solid black" |
+
<p><math>\operatorname{T}_{10} f</math></p>
−
<math>\operatorname{T}_{01}</math>
+
<p><math>\operatorname{E}f|_{\operatorname{d}x(\operatorname{d}y)}</math></p>
−
| width="22%" style="border-bottom:1px solid black" |
+
| width="18%" |
−
<math>\operatorname{T}_{10}</math>
+
<p><math>\operatorname{T}_{01} f</math></p>
−
| width="22%" style="border-bottom:1px solid black" |
+
<p><math>\operatorname{E}f|_{(\operatorname{d}x)\operatorname{d}y}</math></p>
−
<math>\operatorname{T}_{11}</math>
+
| width="18%" |
−
|- style="height:50px"
+
<p><math>\operatorname{T}_{00} f</math></p>
−
| style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{T}_{00}</math>
+
<p><math>\operatorname{E}f|_{(\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)}</math></p>
−
| <math>\operatorname{T}_{00}</math>
+
|-
−
| <math>\operatorname{T}_{01}</math>
+
| <math>f_0\!</math>
−
| <math>\operatorname{T}_{10}</math>
+
| <math>(~)</math>
−
| <math>\operatorname{T}_{11}</math>
+
| <math>(~)</math>
−
|- style="height:50px"
+
| <math>(~)</math>
−
| style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{T}_{01}</math>
+
| <math>(~)</math>
−
| <math>\operatorname{T}_{01}</math>
+
| <math>(~)</math>
−
| <math>\operatorname{T}_{00}</math>
+
|-
−
| <math>\operatorname{T}_{11}</math>
+
|
−
| <math>\operatorname{T}_{10}</math>
+
<math>\begin{matrix}
−
|- style="height:50px"
+
f_1
−
| style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{T}_{10}</math>
+
\\[4pt]
−
| <math>\operatorname{T}_{10}</math>
+
f_2
−
| <math>\operatorname{T}_{11}</math>
+
\\[4pt]
−
| <math>\operatorname{T}_{00}</math>
+
f_4
−
| <math>\operatorname{T}_{01}</math>
+
\\[4pt]
−
|- style="height:50px"
+
f_8
−
| style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{T}_{11}</math>
+
\end{matrix}</math>
−
| <math>\operatorname{T}_{11}</math>
+
|
−
| <math>\operatorname{T}_{10}</math>
+
<math>\begin{matrix}
−
| <math>\operatorname{T}_{01}</math>
+
(x)(y)
−
| <math>\operatorname{T}_{00}</math>
+
\\[4pt]
−
|}
+
(x)~y~
−
 
+
\\[4pt]
−
<br>
+
~x~(y)
−
 
+
\\[4pt]
−
{| align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" style="border-left:1px solid black; border-top:1px solid black; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; text-align:center; width:60%"
+
~x~~y~
−
|- style="height:50px"
+
\end{matrix}</math>
−
| width="12%" style="border-bottom:1px solid black; border-right:1px solid black" | <math>\cdot</math>
+
|
−
| width="22%" style="border-bottom:1px solid black" |
+
<math>\begin{matrix}
−
<math>\operatorname{e}</math>
+
~x~~y~
−
| width="22%" style="border-bottom:1px solid black" |
+
\\[4pt]
−
<math>\operatorname{f}</math>
+
~x~(y)
−
| width="22%" style="border-bottom:1px solid black" |
+
\\[4pt]
−
<math>\operatorname{g}</math>
+
(x)~y~
−
| width="22%" style="border-bottom:1px solid black" |
+
\\[4pt]
−
<math>\operatorname{h}</math>
+
(x)(y)
−
|- style="height:50px"
+
\end{matrix}</math>
−
| style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{e}</math>
+
|
−
| <math>\operatorname{e}</math>
+
<math>\begin{matrix}
−
| <math>\operatorname{f}</math>
+
~x~(y)
−
| <math>\operatorname{g}</math>
+
\\[4pt]
−
| <math>\operatorname{h}</math>
+
~x~~y~
−
|- style="height:50px"
+
\\[4pt]
−
| style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{f}</math>
+
(x)(y)
−
| <math>\operatorname{f}</math>
+
\\[4pt]
−
| <math>\operatorname{e}</math>
+
(x)~y~
−
| <math>\operatorname{h}</math>
 
−
| <math>\operatorname{g}</math>
 
−
|- style="height:50px"
 
−
| style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{g}</math>
 
−
| <math>\operatorname{g}</math>
 
−
| <math>\operatorname{h}</math>
 
−
| <math>\operatorname{e}</math>
 
−
| <math>\operatorname{f}</math>
 
−
|- style="height:50px"
 
−
| style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{h}</math>
 
−
| <math>\operatorname{h}</math>
 
−
| <math>\operatorname{g}</math>
 
−
| <math>\operatorname{f}</math>
 
−
| <math>\operatorname{e}</math>
 
−
|}
 
−
 
 
−
<br>
 
−
 
 
−
===Symmetric Group S<sub>3</sub>===
 
−
 
 
−
<br>
 
−
 
 
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:#f8f8ff; text-align:center; width:90%"
 
−
|+ <math>\text{Permutation Substitutions in}~ \operatorname{Sym} \{ \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C} \}</math>
 
−
|- style="background:#f0f0ff"
 
−
| width="16%" | <math>\operatorname{e}</math>
 
−
| width="16%" | <math>\operatorname{f}</math>
 
−
| width="16%" | <math>\operatorname{g}</math>
 
−
| width="16%" | <math>\operatorname{h}</math>
 
−
| width="16%" | <math>\operatorname{i}</math>
 
−
| width="16%" | <math>\operatorname{j}</math>
 
−
|-
 
−
|
 
−
<math>\begin{matrix}
 
−
\mathrm{A} & \mathrm{B} & \mathrm{C}
 
−
\\[3pt]
 
−
\downarrow & \downarrow & \downarrow
 
−
\\[6pt]
 
−
\mathrm{A} & \mathrm{B} & \mathrm{C}
 
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
\mathrm{A} & \mathrm{B} & \mathrm{C}
+
(x)~y~
−
\\[3pt]
+
\\[4pt]
−
\downarrow & \downarrow & \downarrow
+
(x)(y)
−
\\[6pt]
+
\\[4pt]
−
\mathrm{C} & \mathrm{A} & \mathrm{B}
+
~x~~y~
 +
\\[4pt]
 +
~x~(y)
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
\mathrm{A} & \mathrm{B} & \mathrm{C}
+
(x)(y)
−
\\[3pt]
+
\\[4pt]
−
\downarrow & \downarrow & \downarrow
+
(x)~y~
−
\\[6pt]
+
\\[4pt]
−
\mathrm{B} & \mathrm{C} & \mathrm{A}
+
~x~(y)
 +
\\[4pt]
 +
~x~~y~
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 +
|-
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
\mathrm{A} & \mathrm{B} & \mathrm{C}
+
f_3
−
\\[3pt]
+
\\[4pt]
−
\downarrow & \downarrow & \downarrow
+
f_{12}
−
\\[6pt]
 
−
\mathrm{A} & \mathrm{C} & \mathrm{B}
 
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
\mathrm{A} & \mathrm{B} & \mathrm{C}
+
(x)
−
\\[3pt]
+
\\[4pt]
−
\downarrow & \downarrow & \downarrow
+
~x~
−
\\[6pt]
 
−
\mathrm{C} & \mathrm{B} & \mathrm{A}
 
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
\mathrm{A} & \mathrm{B} & \mathrm{C}
+
~x~
−
\\[3pt]
+
\\[4pt]
−
\downarrow & \downarrow & \downarrow
+
(x)
−
\\[6pt]
 
−
\mathrm{B} & \mathrm{A} & \mathrm{C}
 
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
−
|}
 
−
 
−
<br>
 
−
 
−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:#f8f8ff; text-align:center; width:90%"
 
−
|+ <math>\text{Matrix Representations of Permutations in}~ \operatorname{Sym}(3)</math>
 
−
|- style="background:#f0f0ff"
 
−
| width="16%" | <math>\operatorname{e}</math>
 
−
| width="16%" | <math>\operatorname{f}</math>
 
−
| width="16%" | <math>\operatorname{g}</math>
 
−
| width="16%" | <math>\operatorname{h}</math>
 
−
| width="16%" | <math>\operatorname{i}</math>
 
−
| width="16%" | <math>\operatorname{j}</math>
 
−
|-
 
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
1 & 0 & 0
+
~x~
−
\\
+
\\[4pt]
−
0 & 1 & 0
+
(x)
−
\\
 
−
0 & 0 & 1
 
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
0 & 0 & 1
+
(x)
−
\\
+
\\[4pt]
−
1 & 0 & 0
+
~x~
−
\\
+
\end{matrix}</math>
−
0 & 1 & 0
+
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(x)
 +
\\[4pt]
 +
~x~
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 +
|-
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
0 & 1 & 0
+
f_6
−
\\
+
\\[4pt]
−
0 & 0 & 1
+
f_9
−
\\
 
−
1 & 0 & 0
 
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
1 & 0 & 0
+
~(x,~y)~
−
\\
+
\\[4pt]
−
0 & 0 & 1
+
((x,~y))
−
\\
 
−
0 & 1 & 0
 
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
0 & 0 & 1
+
~(x,~y)~
−
\\
+
\\[4pt]
−
0 & 1 & 0
+
((x,~y))
−
\\
 
−
1 & 0 & 0
 
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
 
|
 
|
 
<math>\begin{matrix}
 
<math>\begin{matrix}
−
0 & 1 & 0
+
((x,~y))
−
\\
+
\\[4pt]
−
1 & 0 & 0
+
~(x,~y)~
−
\\
 
−
0 & 0 & 1
 
 
\end{matrix}</math>
 
\end{matrix}</math>
−
|}
+
|
−
 
+
<math>\begin{matrix}
−
<br>
+
((x,~y))
−
 
+
\\[4pt]
−
<pre>
+
~(x,~y)~
−
Symmetric Group S_3
+
\end{matrix}</math>
−
o-------------------------------------------------o
+
|
−
|                                                 |
+
<math>\begin{matrix}
−
|                        ^                        |
+
~(x,~y)~
−
|                    e / \ e                    |
+
\\[4pt]
−
|                      /   \                      |
+
((x,~y))
−
|                    /  e  \                    |
+
\end{matrix}</math>
−
|                  f / \   / \ f                  |
+
|-
−
|                  /  \ /   \                  |
+
|
−
|                  /  f  \  f  \                  |
+
<math>\begin{matrix}
−
|              g / \   / \   / \ g              |
+
f_5
−
|                /  \ /   \ /  \                |
+
\\[4pt]
−
|              /  g  \  g  \  g  \              |
+
f_{10}
−
|            h / \   / \   / \   / \ h            |
+
\end{matrix}</math>
−
|            /  \ /   \ /  \ /  \            |
+
|
−
|            /  h  \ e  \  e  \ h  \           |
+
<math>\begin{matrix}
−
|        i / \   / \  / \  / \  / \ i        |
+
(y)
−
|         /  \ /  \ /  \ /  \ /  \          |
+
\\[4pt]
−
|        /  i  \ i  \ f  \ j  \ i  \         |
+
~y~
−
|     j / \   / \  / \   / \   / \   / \ j      |
+
\end{matrix}</math>
−
|      /  \ /  \ /  \ /  \ /  \ /  \      |
+
|
−
|      ( j  \  j  \  j  \  i  \  h  \  j  )     |
+
<math>\begin{matrix}
−
|      \   / \   / \   / \   / \   / \   /      |
+
~y~
−
|        \ /  \ /  \ /   \ /  \ /  \ /        |
+
\\[4pt]
−
|        \ h  \ h  \ e  \ j  \ i  /        |
+
(y)
−
|          \   / \   / \   / \  / \  /          |
+
\end{matrix}</math>
−
|          \ /  \ /  \ /  \ /  \ /          |
+
|
−
|            \ i  \ g  \ f  \  h  /            |
+
<math>\begin{matrix}
−
|            \  / \   / \   / \  /            |
+
(y)
−
|              \ /  \ /  \ /  \ /             |
+
\\[4pt]
−
|              \  f  \  e  \  g  /              |
+
~y~
−
|                \   / \   / \   /                |
+
\end{matrix}</math>
−
|                \ /  \ /  \ /                |
+
|
−
|                  \  g  \  f  /                  |
+
<math>\begin{matrix}
−
|                  \   / \   /                  |
+
~y~
−
|                    \ /   \ /                    |
+
\\[4pt]
−
|                     \  e  /                    |
+
(y)
−
|                     \   /                     |
+
\end{matrix}</math>
−
|                       \ /                       |
+
|
−
|                       v                        |
+
<math>\begin{matrix}
−
|                                                 |
+
(y)
−
o-------------------------------------------------o
+
\\[4pt]
−
</pre>
+
~y~
−
 
+
\end{matrix}</math>
−
<br>
+
|-
−
 
+
|
−
===TeX Tables===
+
<math>\begin{matrix}
−
 
+
f_7
−
<pre>
+
\\[4pt]
−
\tableofcontents
+
f_{11}
−
 
+
\\[4pt]
−
\subsection{Table A1.  Propositional Forms on Two Variables}
+
f_{13}
−
 
+
\\[4pt]
−
Table A1 lists equivalent expressions for the Boolean functions of two variables in a number of different notational systems.
+
f_{14}
−
 
+
\end{matrix}</math>
−
\begin{quote}\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
+
|
−
\multicolumn{7}{c}{\textbf{Table A1.  Propositional Forms on Two Variables}} \\
+
<math>\begin{matrix}
−
\hline
+
(~x~~y~)
−
$\mathcal{L}_1$ &
+
\\[4pt]
−
$\mathcal{L}_2$ &&
+
(~x~(y))
−
$\mathcal{L}_3$ &
+
\\[4pt]
−
$\mathcal{L}_4$ &
+
((x)~y~)
−
$\mathcal{L}_5$ &
+
\\[4pt]
−
$\mathcal{L}_6$ \\
+
((x)(y))
−
\hline
+
\end{matrix}</math>
−
& & $x =$ & 1 1 0 0 & & & \\
+
|
−
& & $y =$ & 1 0 1 0 & & & \\
+
<math>\begin{matrix}
−
\hline
+
((x)(y))
−
$f_{0}$    &
+
\\[4pt]
−
$f_{0000}$  &&
+
((x)~y~)
−
0 0 0 0    &
+
\\[4pt]
−
$(~)$      &
+
(~x~(y))
−
$\operatorname{false}$ &
+
\\[4pt]
−
$0$        \\
+
(~x~~y~)
−
$f_{1}$    &
+
\end{matrix}</math>
−
$f_{0001}$  &&
+
|
−
0 0 0 1    &
+
<math>\begin{matrix}
−
$(x)(y)$    &
+
((x)~y~)
−
$\operatorname{neither}\ x\ \operatorname{nor}\ y$ &
+
\\[4pt]
−
$\lnot x \land \lnot y$ \\
+
((x)(y))
−
$f_{2}$    &
+
\\[4pt]
−
$f_{0010}$  &&
+
(~x~~y~)
−
0 0 1 0    &
+
\\[4pt]
−
$(x)\ y$    &
+
(~x~(y))
−
$y\ \operatorname{without}\ x$ &
+
\end{matrix}</math>
−
$\lnot x \land y$ \\
+
|
−
$f_{3}$    &
+
<math>\begin{matrix}
−
$f_{0011}$  &&
+
(~x~(y))
−
0 0 1 1    &
+
\\[4pt]
−
$(x)$      &
+
(~x~~y~)
−
$\operatorname{not}\ x$ &
+
\\[4pt]
−
$\lnot x$  \\
+
((x)(y))
−
$f_{4}$    &
+
\\[4pt]
−
$f_{0100}$  &&
+
((x)~y~)
−
0 1 0 0    &
+
\end{matrix}</math>
−
$x\ (y)$    &
+
|
−
$x\ \operatorname{without}\ y$ &
+
<math>\begin{matrix}
−
$x \land \lnot y$ \\
+
(~x~~y~)
−
$f_{5}$    &
+
\\[4pt]
−
$f_{0101}$  &&
+
(~x~(y))
−
0 1 0 1    &
+
\\[4pt]
−
$(y)$      &
+
((x)~y~)
−
$\operatorname{not}\ y$ &
+
\\[4pt]
−
$\lnot y$  \\
+
((x)(y))
−
$f_{6}$    &
+
\end{matrix}</math>
−
$f_{0110}$  &&
+
|-
−
0 1 1 0    &
+
| <math>f_{15}\!</math>
−
$(x,\ y)$  &
+
| <math>((~))</math>
−
$x\ \operatorname{not~equal~to}\ y$ &
+
| <math>((~))</math>
−
$x \ne y$  \\
+
| <math>((~))</math>
−
$f_{7}$    &
+
| <math>((~))</math>
−
$f_{0111}$  &&
+
| <math>((~))</math>
−
0 1 1 1    &
+
|- style="background:#f0f0ff"
−
$(x\ y)$    &
+
| colspan="2" | <math>\text{Fixed Point Total}\!</math>
−
$\operatorname{not~both}\ x\ \operatorname{and}\ y$ &
+
| <math>4\!</math>
−
$\lnot x \lor \lnot y$ \\
+
| <math>4\!</math>
−
\hline
+
| <math>4\!</math>
−
$f_{8}$    &
+
| <math>16\!</math>
−
$f_{1000}$  &&
+
|}
−
1 0 0 0    &
+
 
−
$x\ y$      &
+
<br>
−
$x\ \operatorname{and}\ y$ &
+
 
−
$x \land y$ \\
+
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="text-align:center; width:90%"
−
$f_{9}$    &
+
|+ <math>\text{Table A4.}~~\operatorname{D}f ~\text{Expanded Over Differential Features}~ \{ \operatorname{d}x, \operatorname{d}y \}</math>
−
$f_{1001}$  &&
+
|- style="background:#f0f0ff"
−
1 0 0 1    &
+
| width="10%" | &nbsp;
−
$((x,\ y))$ &
+
| width="18%" | <math>f\!</math>
−
$x\ \operatorname{equal~to}\ y$ &
+
| width="18%" |
−
$x = y$    \\
+
<math>\operatorname{D}f|_{\operatorname{d}x~\operatorname{d}y}</math>
−
$f_{10}$    &
+
| width="18%" |
−
$f_{1010}$  &&
+
<math>\operatorname{D}f|_{\operatorname{d}x(\operatorname{d}y)}</math>
−
1 0 1 0    &
+
| width="18%" |
−
$y$        &
+
<math>\operatorname{D}f|_{(\operatorname{d}x)\operatorname{d}y}</math>
−
$y$        &
+
| width="18%" |
−
$y$        \\
+
<math>\operatorname{D}f|_{(\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)}</math>
−
$f_{11}$    &
+
|-
−
$f_{1011}$  &&
+
| <math>f_0\!</math>
−
1 0 1 1    &
+
| <math>(~)</math>
−
$(x\ (y))$  &
+
| <math>(~)</math>
−
$\operatorname{not}\ x\ \operatorname{without}\ y$ &
+
| <math>(~)</math>
−
$x \Rightarrow y$ \\
+
| <math>(~)</math>
−
$f_{12}$    &
+
| <math>(~)</math>
−
$f_{1100}$  &&
+
|-
−
1 1 0 0    &
+
|
−
$x$        &
+
<math>\begin{matrix}
−
$x$        &
+
f_1
−
$x$        \\
+
\\[4pt]
−
$f_{13}$    &
+
f_2
−
$f_{1101}$  &&
+
\\[4pt]
−
1 1 0 1    &
+
f_4
−
$((x)\ y)$  &
+
\\[4pt]
−
$\operatorname{not}\ y\ \operatorname{without}\ x$ &
+
f_8
−
$x \Leftarrow y$ \\
+
\end{matrix}</math>
−
$f_{14}$    &
+
|
−
$f_{1110}$  &&
+
<math>\begin{matrix}
−
1 1 1 0    &
+
(x)(y)
−
$((x)(y))$  &
+
\\[4pt]
−
$x\ \operatorname{or}\ y$ &
+
(x)~y~
−
$x \lor y$  \\
+
\\[4pt]
−
$f_{15}$    &
+
~x~(y)
−
$f_{1111}$  &&
+
\\[4pt]
−
1 1 1 1    &
+
~x~~y~
−
$((~))$    &
+
\end{matrix}</math>
−
$\operatorname{true}$ &
+
|
−
$1$        \\
+
<math>\begin{matrix}
−
\hline
+
((x,~y))
−
\end{tabular}\end{quote}
+
\\[4pt]
−
 
+
~(x,~y)~
−
\subsection{Table A2.  Propositional Forms on Two Variables}
+
\\[4pt]
−
 
+
~(x,~y)~
−
Table A2 lists the sixteen Boolean functions of two variables in a different order, grouping them by structural similarity into seven natural classes.
+
\\[4pt]
−
 
+
((x,~y))
−
\begin{quote}\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
+
\end{matrix}</math>
−
\multicolumn{7}{c}{\textbf{Table A2.  Propositional Forms on Two Variables}} \\
+
|
−
\hline
+
<math>\begin{matrix}
−
$\mathcal{L}_1$ &
+
(y)
−
$\mathcal{L}_2$ &&
+
\\[4pt]
−
$\mathcal{L}_3$ &
+
~y~
−
$\mathcal{L}_4$ &
+
\\[4pt]
−
$\mathcal{L}_5$ &
+
(y)
−
$\mathcal{L}_6$ \\
+
\\[4pt]
−
\hline
+
~y~
−
& & $x =$ & 1 1 0 0 & & & \\
+
\end{matrix}</math>
−
& & $y =$ & 1 0 1 0 & & & \\
+
|
−
\hline
+
<math>\begin{matrix}
−
$f_{0}$    &
+
(x)
−
$f_{0000}$  &&
+
\\[4pt]
−
0 0 0 0    &
+
(x)
−
$(~)$      &
+
\\[4pt]
−
$\operatorname{false}$ &
+
~x~
−
$0$        \\
+
\\[4pt]
−
\hline
+
~x~
−
$f_{1}$    &
+
\end{matrix}</math>
−
$f_{0001}$  &&
+
|
−
0 0 0 1    &
+
<math>\begin{matrix}
−
$(x)(y)$    &
+
(~)
−
$\operatorname{neither}\ x\ \operatorname{nor}\ y$ &
+
\\[4pt]
−
$\lnot x \land \lnot y$ \\
+
(~)
−
$f_{2}$    &
+
\\[4pt]
−
$f_{0010}$  &&
+
(~)
−
0 0 1 0    &
+
\\[4pt]
−
$(x)\ y$    &
+
(~)
−
$y\ \operatorname{without}\ x$ &
+
\end{matrix}</math>
−
$\lnot x \land y$ \\
+
|-
−
$f_{4}$    &
+
|
−
$f_{0100}$  &&
+
<math>\begin{matrix}
−
0 1 0 0    &
+
f_3
−
$x\ (y)$    &
+
\\[4pt]
−
$x\ \operatorname{without}\ y$ &
+
f_{12}
−
$x \land \lnot y$ \\
+
\end{matrix}</math>
−
$f_{8}$    &
+
|
−
$f_{1000}$  &&
+
<math>\begin{matrix}
−
1 0 0 0    &
+
(x)
−
$x\ y$      &
+
\\[4pt]
−
$x\ \operatorname{and}\ y$ &
+
~x~
−
$x \land y$ \\
+
\end{matrix}</math>
−
\hline
+
|
−
$f_{3}$    &
+
<math>\begin{matrix}
−
$f_{0011}$  &&
+
((~))
−
0 0 1 1    &
+
\\[4pt]
−
$(x)$      &
+
((~))
−
$\operatorname{not}\ x$ &
+
\end{matrix}</math>
−
$\lnot x$  \\
+
|
−
$f_{12}$    &
+
<math>\begin{matrix}
−
$f_{1100}$  &&
+
((~))
−
1 1 0 0    &
+
\\[4pt]
−
$x$        &
+
((~))
−
$x$        &
+
\end{matrix}</math>
−
$x$        \\
+
|
−
\hline
+
<math>\begin{matrix}
−
$f_{6}$    &
+
(~)
−
$f_{0110}$  &&
+
\\[4pt]
−
0 1 1 0    &
+
(~)
−
$(x,\ y)$  &
+
\end{matrix}</math>
−
$x\ \operatorname{not~equal~to}\ y$ &
+
|
−
$x \ne y$  \\
+
<math>\begin{matrix}
−
$f_{9}$    &
+
(~)
−
$f_{1001}$  &&
+
\\[4pt]
−
1 0 0 1    &
+
(~)
−
$((x,\ y))$ &
+
\end{matrix}</math>
−
$x\ \operatorname{equal~to}\ y$ &
+
|-
−
$x = y$    \\
+
|
−
\hline
+
<math>\begin{matrix}
−
$f_{5}$    &
+
f_6
−
$f_{0101}$  &&
+
\\[4pt]
−
0 1 0 1    &
+
f_9
−
$(y)$      &
+
\end{matrix}</math>
−
$\operatorname{not}\ y$ &
+
|
−
$\lnot y$  \\
+
<math>\begin{matrix}
−
$f_{10}$    &
+
~(x,~y)~
−
$f_{1010}$  &&
+
\\[4pt]
−
1 0 1 0    &
+
((x,~y))
−
$y$        &
+
\end{matrix}</math>
−
$y$        &
+
|
−
$y$        \\
+
<math>\begin{matrix}
−
\hline
+
(~)
−
$f_{7}$    &
+
\\[4pt]
−
$f_{0111}$  &&
+
(~)
−
0 1 1 1    &
+
\end{matrix}</math>
−
$(x\ y)$    &
+
|
−
$\operatorname{not~both}\ x\ \operatorname{and}\ y$ &
+
<math>\begin{matrix}
−
$\lnot x \lor \lnot y$ \\
+
((~))
−
$f_{11}$    &
+
\\[4pt]
−
$f_{1011}$  &&
+
((~))
−
1 0 1 1    &
+
\end{matrix}</math>
−
$(x\ (y))$  &
+
|
−
$\operatorname{not}\ x\ \operatorname{without}\ y$ &
+
<math>\begin{matrix}
−
$x \Rightarrow y$ \\
+
((~))
−
$f_{13}$    &
+
\\[4pt]
−
$f_{1101}$  &&
+
((~))
−
1 1 0 1    &
+
\end{matrix}</math>
−
$((x)\ y)$  &
+
|
−
$\operatorname{not}\ y\ \operatorname{without}\ x$ &
+
<math>\begin{matrix}
−
$x \Leftarrow y$ \\
+
(~)
−
$f_{14}$    &
+
\\[4pt]
−
$f_{1110}$  &&
+
(~)
−
1 1 1 0    &
+
\end{matrix}</math>
−
$((x)(y))$  &
+
|-
−
$x\ \operatorname{or}\ y$ &
+
|
−
$x \lor y$  \\
+
<math>\begin{matrix}
−
\hline
+
f_5
−
$f_{15}$    &
+
\\[4pt]
−
$f_{1111}$  &&
+
f_{10}
−
1 1 1 1    &
+
\end{matrix}</math>
−
$((~))$    &
+
|
−
$\operatorname{true}$ &
+
<math>\begin{matrix}
−
$1$        \\
+
(y)
−
\hline
+
\\[4pt]
−
\end{tabular}\end{quote}
+
~y~
−
 
+
\end{matrix}</math>
−
\subsection{Table A3.  $\operatorname{E}f$ Expanded Over Differential Features $\{ \operatorname{d}x, \operatorname{d}y \}$}
+
|
−
 
+
<math>\begin{matrix}
−
\begin{quote}\begin{tabular}{|c|c||c|c|c|c|}
+
((~))
−
\multicolumn{6}{c}{\textbf{Table A3.  $\operatorname{E}f$ Expanded Over Differential Features $\{ \operatorname{d}x, \operatorname{d}y \}$}} \\
+
\\[4pt]
−
\hline
+
((~))
−
& &
+
\end{matrix}</math>
−
$\operatorname{T}_{11}$ &
+
|
−
$\operatorname{T}_{10}$ &
+
<math>\begin{matrix}
−
$\operatorname{T}_{01}$ &
+
(~)
−
$\operatorname{T}_{00}$ \\
+
\\[4pt]
−
& $f$ &
+
(~)
−
$\operatorname{E}f|_{\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y}$  &
+
\end{matrix}</math>
−
$\operatorname{E}f|_{\operatorname{d}x (\operatorname{d}y)}$  &
+
|
−
$\operatorname{E}f|_{(\operatorname{d}x) \operatorname{d}y}$  &
+
<math>\begin{matrix}
−
$\operatorname{E}f|_{(\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)}$ \\
+
((~))
−
\hline
+
\\[4pt]
−
$f_{0}$  & $(~)$      & $(~)$      & $(~)$      & $(~)$      & $(~)$      \\
+
((~))
−
\hline
+
\end{matrix}</math>
−
$f_{1}$  & $(x)(y)$    & $x\ y$      & $x\ (y)$    & $(x)\ y$    & $(x)(y)$    \\
+
|
−
$f_{2}$  & $(x)\ y$    & $x\ (y)$    & $x\ y$      & $(x)(y)$    & $(x)\ y$    \\
+
<math>\begin{matrix}
−
$f_{4}$  & $x\ (y)$    & $(x)\ y$    & $(x)(y)$    & $x\ y$      & $x\ (y)$    \\
+
(~)
−
$f_{8}$  & $x\ y$      & $(x)(y)$    & $(x)\ y$    & $x\ (y)$    & $x\ y$      \\
+
\\[4pt]
−
\hline
+
(~)
−
$f_{3}$  & $(x)$      & $x$        & $x$        & $(x)$      & $(x)$      \\
+
\end{matrix}</math>
−
$f_{12}$ & $x$        & $(x)$      & $(x)$      & $x$        & $x$        \\
+
|-
−
\hline
+
|
−
$f_{6}$  & $(x,\ y)$  & $(x,\ y)$  & $((x,\ y))$ & $((x,\ y))$ & $(x,\ y)$  \\
+
<math>\begin{matrix}
−
$f_{9}$  & $((x,\ y))$ & $((x,\ y))$ & $(x,\ y)$  & $(x,\ y)$  & $((x,\ y))$ \\
+
f_7
−
\hline
+
\\[4pt]
−
$f_{5}$  & $(y)$      & $y$        & $(y)$      & $y$        & $(y)$      \\
+
f_{11}
−
$f_{10}$ & $y$        & $(y)$      & $y$        & $(y)$      & $y$        \\
+
\\[4pt]
−
\hline
+
f_{13}
−
$f_{7}$  & $(x\ y)$    & $((x)(y))$  & $((x)\ y)$  & $(x\ (y))$  & $(x\ y)$    \\
+
\\[4pt]
−
$f_{11}$ & $(x\ (y))$  & $((x)\ y)$  & $((x)(y))$  & $(x\ y)$    & $(x\ (y))$  \\
+
f_{14}
−
$f_{13}$ & $((x)\ y)$  & $(x\ (y))$  & $(x\ y)$    & $((x)(y))$  & $((x)\ y)$  \\
+
\end{matrix}</math>
−
$f_{14}$ & $((x)(y))$  & $(x\ y)$    & $(x\ (y))$  & $((x)\ y)$  & $((x)(y))$  \\
+
|
−
\hline
+
<math>\begin{matrix}
−
$f_{15}$ & $((~))$    & $((~))$    & $((~))$    & $((~))$    & $((~))$    \\
+
~(x~~y)~
−
\hline
+
\\[4pt]
−
\multicolumn{2}{|c||}{\PMlinkname{Fixed Point}{FixedPoint} Total:} & 4 & 4 & 4 & 16 \\
+
~(x~(y))
−
\hline
+
\\[4pt]
−
\end{tabular}\end{quote}
+
((x)~y)~
−
 
+
\\[4pt]
−
\subsection{Table A4.  $\operatorname{D}f$ Expanded Over Differential Features $\{ \operatorname{d}x, \operatorname{d}y \}$}
+
((x)(y))
−
 
+
\end{matrix}</math>
−
\begin{quote}\begin{tabular}{|c|c||c|c|c|c|}
+
|
−
\multicolumn{6}{c}{\textbf{Table A4.  $\operatorname{D}f$ Expanded Over Differential Features $\{ \operatorname{d}x, \operatorname{d}y \}$}} \\
+
<math>\begin{matrix}
−
\hline
+
((x,~y))
−
& $f$ &
+
\\[4pt]
−
$\operatorname{D}f|_{\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y}$  &
+
~(x,~y)~
−
$\operatorname{D}f|_{\operatorname{d}x (\operatorname{d}y)}$  &
+
\\[4pt]
−
$\operatorname{D}f|_{(\operatorname{d}x) \operatorname{d}y}$  &
+
~(x,~y)~
−
$\operatorname{D}f|_{(\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)}$ \\
+
\\[4pt]
−
\hline
+
((x,~y))
−
$f_{0}$  & $(~)$      & $(~)$      & $(~)$  & $(~)$  & $(~)$ \\
+
\end{matrix}</math>
−
\hline
+
|
−
$f_{1}$  & $(x)(y)$    & $((x,\ y))$ & $(y)$  & $(x)$  & $(~)$ \\
+
<math>\begin{matrix}
−
$f_{2}$  & $(x)\ y$    & $(x,\ y)$  & $y$    & $(x)$  & $(~)$ \\
+
~y~
−
$f_{4}$  & $x\ (y)$    & $(x,\ y)$  & $(y)$  & $x$    & $(~)$ \\
+
\\[4pt]
−
$f_{8}$  & $x\ y$      & $((x,\ y))$ & $y$    & $x$    & $(~)$ \\
+
(y)
−
\hline
+
\\[4pt]
−
$f_{3}$  & $(x)$      & $((~))$    & $((~))$ & $(~)$  & $(~)$ \\
+
~y~
−
$f_{12}$ & $x$        & $((~))$    & $((~))$ & $(~)$  & $(~)$ \\
+
\\[4pt]
−
\hline
+
(y)
−
$f_{6}$  & $(x,\ y)$  & $(~)$      & $((~))$ & $((~))$ & $(~)$ \\
+
\end{matrix}</math>
−
$f_{9}$  & $((x,\ y))$ & $(~)$      & $((~))$ & $((~))$ & $(~)$ \\
+
|
−
\hline
+
<math>\begin{matrix}
−
$f_{5}$  & $(y)$      & $((~))$    & $(~)$  & $((~))$ & $(~)$ \\
+
~x~
−
$f_{10}$ & $y$        & $((~))$    & $(~)$  & $((~))$ & $(~)$ \\
+
\\[4pt]
−
\hline
+
~x~
−
$f_{7}$  & $(x\ y)$    & $((x,\ y))$ & $y$    & $x$    & $(~)$ \\
+
\\[4pt]
−
$f_{11}$ & $(x\ (y))$  & $(x,\ y)$  & $(y)$  & $x$    & $(~)$ \\
+
(x)
−
$f_{13}$ & $((x)\ y)$  & $(x,\ y)$  & $y$    & $(x)$  & $(~)$ \\
+
\\[4pt]
−
$f_{14}$ & $((x)(y))$  & $((x,\ y))$ & $(y)$  & $(x)$  & $(~)$ \\
+
(x)
−
\hline
+
\end{matrix}</math>
−
$f_{15}$ & $((~))$    & $(~)$      & $(~)$  & $(~)$  & $(~)$ \\
+
|
−
\hline
+
<math>\begin{matrix}
−
\end{tabular}\end{quote}
+
(~)
 +
\\[4pt]
 +
(~)
 +
\\[4pt]
 +
(~)
 +
\\[4pt]
 +
(~)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| <math>f_{15}\!</math>
 +
| <math>((~))</math>
 +
| <math>(~)</math>
 +
| <math>(~)</math>
 +
| <math>(~)</math>
 +
| <math>(~)</math>
 +
|}
  
−
\subsection{Table A5.  $\operatorname{E}f$ Expanded Over Ordinary Features $\{ x, y \}$}
+
<br>
  
−
\begin{quote}\begin{tabular}{|c|c||c|c|c|c|}
+
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="text-align:center; width:90%"
−
\multicolumn{6}{c}{\textbf{Table A5. $\operatorname{E}f$ Expanded Over Ordinary Features $\{ x, y \}$}} \\
+
|+ <math>\text{Table A5.}~~\operatorname{E}f ~\text{Expanded Over Ordinary Features}~ \{ x, y \}</math>
−
\hline
+
|- style="background:#f0f0ff"
−
& $f$ &
+
| width="10%" | &nbsp;
−
$\operatorname{E}f|_{x\ y}$  &
+
| width="18%" | <math>f\!</math>
−
$\operatorname{E}f|_{x (y)}$  &
+
| width="18%" | <math>\operatorname{E}f|_{xy}</math>
−
$\operatorname{E}f|_{(x) y}$  &
+
| width="18%" | <math>\operatorname{E}f|_{x(y)}</math>
−
$\operatorname{E}f|_{(x)(y)}$ \\
+
| width="18%" | <math>\operatorname{E}f|_{(x)y}</math>
−
\hline
+
| width="18%" | <math>\operatorname{E}f|_{(x)(y)}</math>
−
$f_{0}$ &
+
|-
−
$(~)$  &
+
| <math>f_0\!</math>
−
$(~)$  &
+
| <math>(~)</math>
−
$(~)$  &
+
| <math>(~)</math>
−
$(~)$  &
+
| <math>(~)</math>
−
$(~)$  \\
+
| <math>(~)</math>
−
\hline
+
| <math>(~)</math>
−
$f_{1}$  &
+
|-
−
$(x)(y)$ &
+
|
−
$\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y$  &
+
<math>\begin{matrix}
−
$\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)$ &
+
f_1
−
$(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y$ &
+
\\[4pt]
−
$(\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)$ \\
+
f_2
−
$f_{2}$  &
+
\\[4pt]
−
$(x)\ y$ &
+
f_4
−
$\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)$ &
+
\\[4pt]
−
$\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y$  &
+
f_8
−
$(\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)$ &
+
\end{matrix}</math>
−
$(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y$ \\
+
|
−
$f_{4}$  &
+
<math>\begin{matrix}
−
$x\ (y)$ &
+
(x)(y)
−
$(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y$ &
+
\\[4pt]
−
$(\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)$ &
+
(x)~y~
−
$\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y$  &
+
\\[4pt]
−
$\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)$ \\
+
~x~(y)
−
$f_{8}$ &
+
\\[4pt]
−
$x\ y$  &
+
~x~~y~
−
$(\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)$ &
+
\end{matrix}</math>
−
$(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y$ &
+
|
−
$\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)$ &
+
<math>\begin{matrix}
−
$\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y$  \\
+
~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~
−
\hline
+
\\[4pt]
−
$f_{3}$ &
+
~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y)
−
$(x)$  &
+
\\[4pt]
−
$\operatorname{d}x$  &
+
(\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~
−
$\operatorname{d}x$  &
+
\\[4pt]
−
$(\operatorname{d}x)$ &
+
(\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)
−
$(\operatorname{d}x)$ \\
+
\end{matrix}</math>
−
$f_{12}$ &
+
|
−
$x$      &
+
<math>\begin{matrix}
−
$(\operatorname{d}x)$ &
+
~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y)
−
$(\operatorname{d}x)$ &
+
\\[4pt]
−
$\operatorname{d}x$  &
+
~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~
−
$\operatorname{d}x$  \\
+
\\[4pt]
−
\hline
+
(\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)
−
$f_{6}$  &
+
\\[4pt]
−
$(x,\ y)$ &
+
(\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~
−
$(\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y)$  &
+
\end{matrix}</math>
−
$((\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y))$ &
+
|
−
$((\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y))$ &
+
<math>\begin{matrix}
−
$(\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y)$  \\
+
(\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~
−
$f_{9}$    &
+
\\[4pt]
−
$((x,\ y))$ &
+
(\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)
−
$((\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y))$ &
+
\\[4pt]
−
$(\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y)$  &
+
~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~
−
$(\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y)$  &
+
\\[4pt]
−
$((\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y))$ \\
+
~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y)
−
\hline
+
\end{matrix}</math>
−
$f_{5}$ &
+
|
−
$(y)$  &
+
<math>\begin{matrix}
−
$\operatorname{d}y$  &
+
(\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)
−
$(\operatorname{d}y)$ &
+
\\[4pt]
−
$\operatorname{d}y$  &
+
(\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~
−
$(\operatorname{d}y)$ \\
+
\\[4pt]
−
$f_{10}$ &
+
~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y)
−
$y$      &
+
\\[4pt]
−
$(\operatorname{d}y)$ &
+
~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~
−
$\operatorname{d}y$  &
+
\end{matrix}</math>
−
$(\operatorname{d}y)$ &
+
|-
−
$\operatorname{d}y$  \\
+
|
−
\hline
+
<math>\begin{matrix}
−
$f_{7}$  &
+
f_3
−
$(x\ y)$ &
+
\\[4pt]
−
$((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))$ &
+
f_{12}
−
$((\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y)$ &
+
\end{matrix}</math>
−
$(\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y))$ &
+
|
−
$(\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y)$  \\
+
<math>\begin{matrix}
−
$f_{11}$  &
+
(x)
−
$(x\ (y))$ &
+
\\[4pt]
−
$((\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y)$ &
+
~x~
−
$((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))$ &
+
\end{matrix}</math>
−
$(\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y)$  &
+
|
−
$(\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y))$ \\
+
<math>\begin{matrix}
−
$f_{13}$  &
+
~\operatorname{d}x~
−
$((x)\ y)$ &
+
\\[4pt]
−
$(\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y))$ &
+
(\operatorname{d}x)
−
$(\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y)$  &
+
\end{matrix}</math>
−
$((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))$ &
+
|
−
$((\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y)$ \\
+
<math>\begin{matrix}
−
$f_{14}$  &
+
~\operatorname{d}x~
−
$((x)(y))$ &
+
\\[4pt]
−
$(\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y)$  &
+
(\operatorname{d}x)
−
$(\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y))$ &
+
\end{matrix}</math>
−
$((\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y)$ &
+
|
−
$((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))$ \\
+
<math>\begin{matrix}
−
\hline
+
(\operatorname{d}x)
−
$f_{15}$ &
+
\\[4pt]
−
$((~))$  &
+
~\operatorname{d}x~
−
$((~))$  &
+
\end{matrix}</math>
−
$((~))$  &
+
|
−
$((~))$  &
+
<math>\begin{matrix}
−
$((~))$  \\
+
(\operatorname{d}x)
−
\hline
+
\\[4pt]
−
\end{tabular}\end{quote}
+
~\operatorname{d}x~
−
 
+
\end{matrix}</math>
−
\subsection{Table A6.  $\operatorname{D}f$ Expanded Over Ordinary Features $\{ x, y \}$}
+
|-
−
 
+
|
−
\begin{quote}\begin{tabular}{|c|c||c|c|c|c|}
+
<math>\begin{matrix}
−
\multicolumn{6}{c}{\textbf{Table A6.  $\operatorname{D}f$ Expanded Over Ordinary Features $\{ x, y \}$}} \\
+
f_6
−
\hline
+
\\[4pt]
−
& $f$ &
+
f_9
−
$\operatorname{D}f|_{x\ y}$  &
+
\end{matrix}</math>
−
$\operatorname{D}f|_{x (y)}$  &
+
|
−
$\operatorname{D}f|_{(x) y}$  &
+
<math>\begin{matrix}
−
$\operatorname{D}f|_{(x)(y)}$ \\
+
~(x,~y)~
−
\hline
+
\\[4pt]
−
$f_{0}$ &
+
((x,~y))
−
$(~)$  &
+
\end{matrix}</math>
−
$(~)$  &
+
|
−
$(~)$  &
+
<math>\begin{matrix}
−
$(~)$  &
+
~(\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y)~
−
$(~)$  \\
+
\\[4pt]
−
\hline
+
((\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y))
−
$f_{1}$  &
+
\end{matrix}</math>
−
$(x)(y)$ &
+
|
−
$\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y$    &
+
<math>\begin{matrix}
−
$\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)$  &
+
((\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y))
−
$(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y$  &
+
\\[4pt]
−
$((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))$ \\
+
~(\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y)~
−
$f_{2}$  &
+
\end{matrix}</math>
−
$(x)\ y$ &
+
|
−
$\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)$  &
+
<math>\begin{matrix}
−
$\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y$    &
+
((\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y))
−
$((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))$ &
+
\\[4pt]
−
$(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y$  \\
+
~(\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y)~
−
$f_{4}$  &
+
\end{matrix}</math>
−
$x\ (y)$ &
+
|
−
$(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y$  &
+
<math>\begin{matrix}
−
$((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))$ &
+
~(\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y)~
−
$\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y$    &
+
\\[4pt]
−
$\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)$  \\
+
((\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y))
−
$f_{8}$ &
+
\end{matrix}</math>
−
$x\ y$  &
+
|-
−
$((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))$ &
+
|
−
$(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y$  &
+
<math>\begin{matrix}
−
$\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)$  &
+
f_5
−
$\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y$    \\
+
\\[4pt]
−
\hline
+
f_{10}
−
$f_{3}$ &
+
\end{matrix}</math>
−
$(x)$  &
+
|
−
$\operatorname{d}x$ &
+
<math>\begin{matrix}
−
$\operatorname{d}x$ &
+
(y)
−
$\operatorname{d}x$ &
+
\\[4pt]
−
$\operatorname{d}x$ \\
+
~y~
−
$f_{12}$ &
+
\end{matrix}</math>
−
$x$      &
+
|
−
$\operatorname{d}x$ &
+
<math>\begin{matrix}
−
$\operatorname{d}x$ &
+
~\operatorname{d}y~
−
$\operatorname{d}x$ &
+
\\[4pt]
−
$\operatorname{d}x$ \\
+
(\operatorname{d}y)
−
\hline
+
\end{matrix}</math>
−
$f_{6}$  &
+
|
−
$(x,\ y)$ &
+
<math>\begin{matrix}
−
$(\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y)$ &
+
(\operatorname{d}y)
−
$(\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y)$ &
+
\\[4pt]
−
$(\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y)$ &
+
~\operatorname{d}y~
−
$(\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y)$ \\
+
\end{matrix}</math>
−
$f_{9}$    &
+
|
−
$((x,\ y))$ &
+
<math>\begin{matrix}
−
$(\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y)$ &
+
~\operatorname{d}y~
−
$(\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y)$ &
+
\\[4pt]
−
$(\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y)$ &
+
(\operatorname{d}y)
−
$(\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y)$ \\
+
\end{matrix}</math>
−
\hline
+
|
−
$f_{5}$ &
+
<math>\begin{matrix}
−
$(y)$  &
+
(\operatorname{d}y)
−
$\operatorname{d}y$ &
+
\\[4pt]
−
$\operatorname{d}y$ &
+
~\operatorname{d}y~
−
$\operatorname{d}y$ &
+
\end{matrix}</math>
−
$\operatorname{d}y$ \\
+
|-
−
$f_{10}$ &
+
|
−
$y$      &
+
<math>\begin{matrix}
−
$\operatorname{d}y$ &
+
f_7
−
$\operatorname{d}y$ &
+
\\[4pt]
−
$\operatorname{d}y$ &
+
f_{11}
−
$\operatorname{d}y$ \\
+
\\[4pt]
−
\hline
+
f_{13}
−
$f_{7}$  &
+
\\[4pt]
−
$(x\ y)$ &
+
f_{14}
−
$((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))$ &
+
\end{matrix}</math>
−
$(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y$  &
+
|
−
$\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)$  &
+
<math>\begin{matrix}
−
$\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y$    \\
+
(~x~~y~)
−
$f_{11}$  &
+
\\[4pt]
−
$(x\ (y))$ &
+
(~x~(y))
−
$(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y$  &
+
\\[4pt]
−
$((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))$ &
+
((x)~y~)
−
$\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y$    &
+
\\[4pt]
−
$\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)$  \\
+
((x)(y))
−
$f_{13}$  &
+
\end{matrix}</math>
−
$((x)\ y)$ &
+
|
−
$\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)$  &
+
<math>\begin{matrix}
−
$\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y$    &
+
((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))
−
$((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))$ &
+
\\[4pt]
−
$(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y$  \\
+
((\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~)
−
$f_{14}$  &
+
\\[4pt]
−
$((x)(y))$ &
+
(~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y))
−
$\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y$    &
+
\\[4pt]
−
$\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)$  &
+
(~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~)
−
$(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y$  &
+
\end{matrix}</math>
−
$((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))$ \\
+
|
−
\hline
+
<math>\begin{matrix}
−
$f_{15}$ &
+
((\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~)
−
$((~))$  &
+
\\[4pt]
−
$(~)$    &
+
((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))
−
$(~)$    &
+
\\[4pt]
−
$(~)$    &
+
(~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~)
−
$(~)$    \\
+
\\[4pt]
−
\hline
+
(~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y))
−
\end{tabular}\end{quote}
+
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y))
 +
\\[4pt]
 +
(~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~)
 +
\\[4pt]
 +
((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))
 +
\\[4pt]
 +
((\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~)
 +
\\[4pt]
 +
(~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y))
 +
\\[4pt]
 +
((\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~)
 +
\\[4pt]
 +
((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| <math>f_{15}\!</math>
 +
| <math>((~))</math>
 +
| <math>((~))</math>
 +
| <math>((~))</math>
 +
| <math>((~))</math>
 +
| <math>((~))</math>
 +
|}
 +
 
 +
<br>
 +
 
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="text-align:center; width:90%"
 +
|+ <math>\text{Table A6.}~~\operatorname{D}f ~\text{Expanded Over Ordinary Features}~ \{ x, y \}</math>
 +
|- style="background:#f0f0ff"
 +
| width="10%" | &nbsp;
 +
| width="18%" | <math>f\!</math>
 +
| width="18%" | <math>\operatorname{D}f|_{xy}</math>
 +
| width="18%" | <math>\operatorname{D}f|_{x(y)}</math>
 +
| width="18%" | <math>\operatorname{D}f|_{(x)y}</math>
 +
| width="18%" | <math>\operatorname{D}f|_{(x)(y)}</math>
 +
|-
 +
| <math>f_0\!</math>
 +
| <math>(~)</math>
 +
| <math>(~)</math>
 +
| <math>(~)</math>
 +
| <math>(~)</math>
 +
| <math>(~)</math>
 +
|-
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
f_1
 +
\\[4pt]
 +
f_2
 +
\\[4pt]
 +
f_4
 +
\\[4pt]
 +
f_8
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(x)(y)
 +
\\[4pt]
 +
(x)~y~
 +
\\[4pt]
 +
~x~(y)
 +
\\[4pt]
 +
~x~~y~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~~
 +
\\[4pt]
 +
~~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y)~
 +
\\[4pt]
 +
~(\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~~
 +
\\[4pt]
 +
((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y)~
 +
\\[4pt]
 +
~~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~~
 +
\\[4pt]
 +
((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))
 +
\\[4pt]
 +
~(\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~(\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~~
 +
\\[4pt]
 +
((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))
 +
\\[4pt]
 +
~~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~~
 +
\\[4pt]
 +
~~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y)~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))
 +
\\[4pt]
 +
~(\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~~
 +
\\[4pt]
 +
~~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y)~
 +
\\[4pt]
 +
~~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
f_3
 +
\\[4pt]
 +
f_{12}
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(x)
 +
\\[4pt]
 +
~x~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{d}x
 +
\\[4pt]
 +
\operatorname{d}x
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{d}x
 +
\\[4pt]
 +
\operatorname{d}x
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{d}x
 +
\\[4pt]
 +
\operatorname{d}x
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{d}x
 +
\\[4pt]
 +
\operatorname{d}x
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
f_6
 +
\\[4pt]
 +
f_9
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~(x,~y)~
 +
\\[4pt]
 +
((x,~y))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y)
 +
\\[4pt]
 +
(\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y)
 +
\\[4pt]
 +
(\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y)
 +
\\[4pt]
 +
(\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y)
 +
\\[4pt]
 +
(\operatorname{d}x,~\operatorname{d}y)
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
f_5
 +
\\[4pt]
 +
f_{10}
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(y)
 +
\\[4pt]
 +
~y~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{d}y
 +
\\[4pt]
 +
\operatorname{d}y
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{d}y
 +
\\[4pt]
 +
\operatorname{d}y
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{d}y
 +
\\[4pt]
 +
\operatorname{d}y
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\operatorname{d}y
 +
\\[4pt]
 +
\operatorname{d}y
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
f_7
 +
\\[4pt]
 +
f_{11}
 +
\\[4pt]
 +
f_{13}
 +
\\[4pt]
 +
f_{14}
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
(~x~~y~)
 +
\\[4pt]
 +
(~x~(y))
 +
\\[4pt]
 +
((x)~y~)
 +
\\[4pt]
 +
((x)(y))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))
 +
\\[4pt]
 +
~(\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~~
 +
\\[4pt]
 +
~~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y)~
 +
\\[4pt]
 +
~~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~(\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~~
 +
\\[4pt]
 +
((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))
 +
\\[4pt]
 +
~~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~~
 +
\\[4pt]
 +
~~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y)~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y)~
 +
\\[4pt]
 +
~~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~~
 +
\\[4pt]
 +
((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))
 +
\\[4pt]
 +
~(\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~~
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
~~\operatorname{d}x~~\operatorname{d}y~~
 +
\\[4pt]
 +
~~\operatorname{d}x~(\operatorname{d}y)~
 +
\\[4pt]
 +
~(\operatorname{d}x)~\operatorname{d}y~~
 +
\\[4pt]
 +
((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))
 +
\end{matrix}</math>
 +
|-
 +
| <math>f_{15}\!</math>
 +
| <math>((~))</math>
 +
| <math>((~))</math>
 +
| <math>((~))</math>
 +
| <math>((~))</math>
 +
| <math>((~))</math>
 +
|}
 +
 
 +
<br>
 +
 
 +
===Klein Four-Group V<sub>4</sub>===
 +
 
 +
<br>
 +
 
 +
{| align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" style="border-left:1px solid black; border-top:1px solid black; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; text-align:center; width:60%"
 +
|- style="height:50px"
 +
| width="12%" style="border-bottom:1px solid black; border-right:1px solid black" | <math>\cdot\!</math>
 +
| width="22%" style="border-bottom:1px solid black" |
 +
<math>\operatorname{T}_{00}</math>
 +
| width="22%" style="border-bottom:1px solid black" |
 +
<math>\operatorname{T}_{01}</math>
 +
| width="22%" style="border-bottom:1px solid black" |
 +
<math>\operatorname{T}_{10}</math>
 +
| width="22%" style="border-bottom:1px solid black" |
 +
<math>\operatorname{T}_{11}</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{T}_{00}</math>
 +
| <math>\operatorname{T}_{00}</math>
 +
| <math>\operatorname{T}_{01}</math>
 +
| <math>\operatorname{T}_{10}</math>
 +
| <math>\operatorname{T}_{11}</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{T}_{01}</math>
 +
| <math>\operatorname{T}_{01}</math>
 +
| <math>\operatorname{T}_{00}</math>
 +
| <math>\operatorname{T}_{11}</math>
 +
| <math>\operatorname{T}_{10}</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{T}_{10}</math>
 +
| <math>\operatorname{T}_{10}</math>
 +
| <math>\operatorname{T}_{11}</math>
 +
| <math>\operatorname{T}_{00}</math>
 +
| <math>\operatorname{T}_{01}</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{T}_{11}</math>
 +
| <math>\operatorname{T}_{11}</math>
 +
| <math>\operatorname{T}_{10}</math>
 +
| <math>\operatorname{T}_{01}</math>
 +
| <math>\operatorname{T}_{00}</math>
 +
|}
 +
 
 +
<br>
 +
 
 +
{| align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" style="border-left:1px solid black; border-top:1px solid black; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; text-align:center; width:60%"
 +
|- style="height:50px"
 +
| width="12%" style="border-bottom:1px solid black; border-right:1px solid black" | <math>\cdot\!</math>
 +
| width="22%" style="border-bottom:1px solid black" |
 +
<math>\operatorname{e}</math>
 +
| width="22%" style="border-bottom:1px solid black" |
 +
<math>\operatorname{f}</math>
 +
| width="22%" style="border-bottom:1px solid black" |
 +
<math>\operatorname{g}</math>
 +
| width="22%" style="border-bottom:1px solid black" |
 +
<math>\operatorname{h}</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{e}</math>
 +
| <math>\operatorname{e}</math>
 +
| <math>\operatorname{f}</math>
 +
| <math>\operatorname{g}</math>
 +
| <math>\operatorname{h}</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{f}</math>
 +
| <math>\operatorname{f}</math>
 +
| <math>\operatorname{e}</math>
 +
| <math>\operatorname{h}</math>
 +
| <math>\operatorname{g}</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{g}</math>
 +
| <math>\operatorname{g}</math>
 +
| <math>\operatorname{h}</math>
 +
| <math>\operatorname{e}</math>
 +
| <math>\operatorname{f}</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{h}</math>
 +
| <math>\operatorname{h}</math>
 +
| <math>\operatorname{g}</math>
 +
| <math>\operatorname{f}</math>
 +
| <math>\operatorname{e}</math>
 +
|}
 +
 
 +
<br>
 +
 
 +
===Symmetric Group S<sub>3</sub>===
 +
 
 +
<br>
 +
 
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="text-align:center; width:90%"
 +
|+ <math>\text{Permutation Substitutions in}~ \operatorname{Sym} \{ \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C} \}</math>
 +
|- style="background:#f0f0ff"
 +
| width="16%" | <math>\operatorname{e}</math>
 +
| width="16%" | <math>\operatorname{f}</math>
 +
| width="16%" | <math>\operatorname{g}</math>
 +
| width="16%" | <math>\operatorname{h}</math>
 +
| width="16%" | <math>\operatorname{i}</math>
 +
| width="16%" | <math>\operatorname{j}</math>
 +
|-
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\mathrm{A} & \mathrm{B} & \mathrm{C}
 +
\\[3pt]
 +
\downarrow & \downarrow & \downarrow
 +
\\[6pt]
 +
\mathrm{A} & \mathrm{B} & \mathrm{C}
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\mathrm{A} & \mathrm{B} & \mathrm{C}
 +
\\[3pt]
 +
\downarrow & \downarrow & \downarrow
 +
\\[6pt]
 +
\mathrm{C} & \mathrm{A} & \mathrm{B}
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\mathrm{A} & \mathrm{B} & \mathrm{C}
 +
\\[3pt]
 +
\downarrow & \downarrow & \downarrow
 +
\\[6pt]
 +
\mathrm{B} & \mathrm{C} & \mathrm{A}
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\mathrm{A} & \mathrm{B} & \mathrm{C}
 +
\\[3pt]
 +
\downarrow & \downarrow & \downarrow
 +
\\[6pt]
 +
\mathrm{A} & \mathrm{C} & \mathrm{B}
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\mathrm{A} & \mathrm{B} & \mathrm{C}
 +
\\[3pt]
 +
\downarrow & \downarrow & \downarrow
 +
\\[6pt]
 +
\mathrm{C} & \mathrm{B} & \mathrm{A}
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\mathrm{A} & \mathrm{B} & \mathrm{C}
 +
\\[3pt]
 +
\downarrow & \downarrow & \downarrow
 +
\\[6pt]
 +
\mathrm{B} & \mathrm{A} & \mathrm{C}
 +
\end{matrix}</math>
 +
|}
 +
 
 +
<br>
 +
 
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="text-align:center; width:90%"
 +
|+ <math>\text{Matrix Representations of Permutations in}~ \operatorname{Sym}(3)</math>
 +
|- style="background:#f0f0ff"
 +
| width="16%" | <math>\operatorname{e}</math>
 +
| width="16%" | <math>\operatorname{f}</math>
 +
| width="16%" | <math>\operatorname{g}</math>
 +
| width="16%" | <math>\operatorname{h}</math>
 +
| width="16%" | <math>\operatorname{i}</math>
 +
| width="16%" | <math>\operatorname{j}</math>
 +
|-
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
1 & 0 & 0
 +
\\
 +
0 & 1 & 0
 +
\\
 +
0 & 0 & 1
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
0 & 0 & 1
 +
\\
 +
1 & 0 & 0
 +
\\
 +
0 & 1 & 0
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
0 & 1 & 0
 +
\\
 +
0 & 0 & 1
 +
\\
 +
1 & 0 & 0
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
1 & 0 & 0
 +
\\
 +
0 & 0 & 1
 +
\\
 +
0 & 1 & 0
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
0 & 0 & 1
 +
\\
 +
0 & 1 & 0
 +
\\
 +
1 & 0 & 0
 +
\end{matrix}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{matrix}
 +
0 & 1 & 0
 +
\\
 +
1 & 0 & 0
 +
\\
 +
0 & 0 & 1
 +
\end{matrix}</math>
 +
|}
 +
 
 +
<br>
 +
 
 +
<pre>
 +
Symmetric Group S_3
 +
o-------------------------------------------------o
 +
|                                                |
 +
|                        ^                        |
 +
|                    e / \ e                    |
 +
|                      /  \                      |
 +
|                    /  e  \                    |
 +
|                  f / \  / \ f                  |
 +
|                  /  \ /  \                  |
 +
|                  /  f  \  f  \                  |
 +
|              g / \  / \  / \ g              |
 +
|                /  \ /  \ /  \                |
 +
|              /  g  \  g  \  g  \              |
 +
|            h / \  / \  / \  / \ h            |
 +
|            /  \ /  \ /  \ /  \            |
 +
|            /  h  \  e  \  e  \  h  \            |
 +
|        i / \  / \  / \  / \  / \ i        |
 +
|          /  \ /  \ /  \ /  \ /  \          |
 +
|        /  i  \  i  \  f  \  j  \  i  \        |
 +
|      j / \  / \  / \  / \  / \  / \ j      |
 +
|      /  \ /  \ /  \ /  \ /  \ /  \      |
 +
|      (  j  \  j  \  j  \  i  \  h  \  j  )      |
 +
|      \  / \  / \  / \  / \  / \  /      |
 +
|        \ /  \ /  \ /  \ /  \ /  \ /        |
 +
|        \  h  \  h  \  e  \  j  \  i  /        |
 +
|          \  / \  / \  / \  / \  /          |
 +
|          \ /  \ /  \ /  \ /  \ /          |
 +
|            \  i  \  g  \  f  \  h  /            |
 +
|            \  / \  / \  / \  /            |
 +
|              \ /  \ /  \ /  \ /              |
 +
|              \  f  \  e  \  g  /              |
 +
|                \  / \  / \  /                |
 +
|                \ /  \ /  \ /                |
 +
|                  \  g  \  f  /                  |
 +
|                  \  / \  /                  |
 +
|                    \ /  \ /                    |
 +
|                    \  e  /                    |
 +
|                      \  /                      |
 +
|                      \ /                      |
 +
|                        v                        |
 +
|                                                |
 +
o-------------------------------------------------o
 
</pre>
 
</pre>
 +
 +
<br>
 +
 +
===TeX Tables===
 +
 +
<pre>
 +
\tableofcontents
 +
 +
\subsection{Table A1.  Propositional Forms on Two Variables}
 +
 +
Table A1 lists equivalent expressions for the Boolean functions of two variables in a number of different notational systems.
 +
 +
\begin{quote}\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
 +
\multicolumn{7}{c}{\textbf{Table A1.  Propositional Forms on Two Variables}} \\
 +
\hline
 +
$\mathcal{L}_1$ &
 +
$\mathcal{L}_2$ &&
 +
$\mathcal{L}_3$ &
 +
$\mathcal{L}_4$ &
 +
$\mathcal{L}_5$ &
 +
$\mathcal{L}_6$ \\
 +
\hline
 +
& & $x =$ & 1 1 0 0 & & & \\
 +
& & $y =$ & 1 0 1 0 & & & \\
 +
\hline
 +
$f_{0}$    &
 +
$f_{0000}$  &&
 +
0 0 0 0    &
 +
$(~)$      &
 +
$\operatorname{false}$ &
 +
$0$        \\
 +
$f_{1}$    &
 +
$f_{0001}$  &&
 +
0 0 0 1    &
 +
$(x)(y)$    &
 +
$\operatorname{neither}\ x\ \operatorname{nor}\ y$ &
 +
$\lnot x \land \lnot y$ \\
 +
$f_{2}$    &
 +
$f_{0010}$  &&
 +
0 0 1 0    &
 +
$(x)\ y$    &
 +
$y\ \operatorname{without}\ x$ &
 +
$\lnot x \land y$ \\
 +
$f_{3}$    &
 +
$f_{0011}$  &&
 +
0 0 1 1    &
 +
$(x)$      &
 +
$\operatorname{not}\ x$ &
 +
$\lnot x$  \\
 +
$f_{4}$    &
 +
$f_{0100}$  &&
 +
0 1 0 0    &
 +
$x\ (y)$    &
 +
$x\ \operatorname{without}\ y$ &
 +
$x \land \lnot y$ \\
 +
$f_{5}$    &
 +
$f_{0101}$  &&
 +
0 1 0 1    &
 +
$(y)$      &
 +
$\operatorname{not}\ y$ &
 +
$\lnot y$  \\
 +
$f_{6}$    &
 +
$f_{0110}$  &&
 +
0 1 1 0    &
 +
$(x,\ y)$  &
 +
$x\ \operatorname{not~equal~to}\ y$ &
 +
$x \ne y$  \\
 +
$f_{7}$    &
 +
$f_{0111}$  &&
 +
0 1 1 1    &
 +
$(x\ y)$    &
 +
$\operatorname{not~both}\ x\ \operatorname{and}\ y$ &
 +
$\lnot x \lor \lnot y$ \\
 +
\hline
 +
$f_{8}$    &
 +
$f_{1000}$  &&
 +
1 0 0 0    &
 +
$x\ y$      &
 +
$x\ \operatorname{and}\ y$ &
 +
$x \land y$ \\
 +
$f_{9}$    &
 +
$f_{1001}$  &&
 +
1 0 0 1    &
 +
$((x,\ y))$ &
 +
$x\ \operatorname{equal~to}\ y$ &
 +
$x = y$    \\
 +
$f_{10}$    &
 +
$f_{1010}$  &&
 +
1 0 1 0    &
 +
$y$        &
 +
$y$        &
 +
$y$        \\
 +
$f_{11}$    &
 +
$f_{1011}$  &&
 +
1 0 1 1    &
 +
$(x\ (y))$  &
 +
$\operatorname{not}\ x\ \operatorname{without}\ y$ &
 +
$x \Rightarrow y$ \\
 +
$f_{12}$    &
 +
$f_{1100}$  &&
 +
1 1 0 0    &
 +
$x$        &
 +
$x$        &
 +
$x$        \\
 +
$f_{13}$    &
 +
$f_{1101}$  &&
 +
1 1 0 1    &
 +
$((x)\ y)$  &
 +
$\operatorname{not}\ y\ \operatorname{without}\ x$ &
 +
$x \Leftarrow y$ \\
 +
$f_{14}$    &
 +
$f_{1110}$  &&
 +
1 1 1 0    &
 +
$((x)(y))$  &
 +
$x\ \operatorname{or}\ y$ &
 +
$x \lor y$  \\
 +
$f_{15}$    &
 +
$f_{1111}$  &&
 +
1 1 1 1    &
 +
$((~))$    &
 +
$\operatorname{true}$ &
 +
$1$        \\
 +
\hline
 +
\end{tabular}\end{quote}
 +
 +
\subsection{Table A2.  Propositional Forms on Two Variables}
 +
 +
Table A2 lists the sixteen Boolean functions of two variables in a different order, grouping them by structural similarity into seven natural classes.
 +
 +
\begin{quote}\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
 +
\multicolumn{7}{c}{\textbf{Table A2.  Propositional Forms on Two Variables}} \\
 +
\hline
 +
$\mathcal{L}_1$ &
 +
$\mathcal{L}_2$ &&
 +
$\mathcal{L}_3$ &
 +
$\mathcal{L}_4$ &
 +
$\mathcal{L}_5$ &
 +
$\mathcal{L}_6$ \\
 +
\hline
 +
& & $x =$ & 1 1 0 0 & & & \\
 +
& & $y =$ & 1 0 1 0 & & & \\
 +
\hline
 +
$f_{0}$    &
 +
$f_{0000}$  &&
 +
0 0 0 0    &
 +
$(~)$      &
 +
$\operatorname{false}$ &
 +
$0$        \\
 +
\hline
 +
$f_{1}$    &
 +
$f_{0001}$  &&
 +
0 0 0 1    &
 +
$(x)(y)$    &
 +
$\operatorname{neither}\ x\ \operatorname{nor}\ y$ &
 +
$\lnot x \land \lnot y$ \\
 +
$f_{2}$    &
 +
$f_{0010}$  &&
 +
0 0 1 0    &
 +
$(x)\ y$    &
 +
$y\ \operatorname{without}\ x$ &
 +
$\lnot x \land y$ \\
 +
$f_{4}$    &
 +
$f_{0100}$  &&
 +
0 1 0 0    &
 +
$x\ (y)$    &
 +
$x\ \operatorname{without}\ y$ &
 +
$x \land \lnot y$ \\
 +
$f_{8}$    &
 +
$f_{1000}$  &&
 +
1 0 0 0    &
 +
$x\ y$      &
 +
$x\ \operatorname{and}\ y$ &
 +
$x \land y$ \\
 +
\hline
 +
$f_{3}$    &
 +
$f_{0011}$  &&
 +
0 0 1 1    &
 +
$(x)$      &
 +
$\operatorname{not}\ x$ &
 +
$\lnot x$  \\
 +
$f_{12}$    &
 +
$f_{1100}$  &&
 +
1 1 0 0    &
 +
$x$        &
 +
$x$        &
 +
$x$        \\
 +
\hline
 +
$f_{6}$    &
 +
$f_{0110}$  &&
 +
0 1 1 0    &
 +
$(x,\ y)$  &
 +
$x\ \operatorname{not~equal~to}\ y$ &
 +
$x \ne y$  \\
 +
$f_{9}$    &
 +
$f_{1001}$  &&
 +
1 0 0 1    &
 +
$((x,\ y))$ &
 +
$x\ \operatorname{equal~to}\ y$ &
 +
$x = y$    \\
 +
\hline
 +
$f_{5}$    &
 +
$f_{0101}$  &&
 +
0 1 0 1    &
 +
$(y)$      &
 +
$\operatorname{not}\ y$ &
 +
$\lnot y$  \\
 +
$f_{10}$    &
 +
$f_{1010}$  &&
 +
1 0 1 0    &
 +
$y$        &
 +
$y$        &
 +
$y$        \\
 +
\hline
 +
$f_{7}$    &
 +
$f_{0111}$  &&
 +
0 1 1 1    &
 +
$(x\ y)$    &
 +
$\operatorname{not~both}\ x\ \operatorname{and}\ y$ &
 +
$\lnot x \lor \lnot y$ \\
 +
$f_{11}$    &
 +
$f_{1011}$  &&
 +
1 0 1 1    &
 +
$(x\ (y))$  &
 +
$\operatorname{not}\ x\ \operatorname{without}\ y$ &
 +
$x \Rightarrow y$ \\
 +
$f_{13}$    &
 +
$f_{1101}$  &&
 +
1 1 0 1    &
 +
$((x)\ y)$  &
 +
$\operatorname{not}\ y\ \operatorname{without}\ x$ &
 +
$x \Leftarrow y$ \\
 +
$f_{14}$    &
 +
$f_{1110}$  &&
 +
1 1 1 0    &
 +
$((x)(y))$  &
 +
$x\ \operatorname{or}\ y$ &
 +
$x \lor y$  \\
 +
\hline
 +
$f_{15}$    &
 +
$f_{1111}$  &&
 +
1 1 1 1    &
 +
$((~))$    &
 +
$\operatorname{true}$ &
 +
$1$        \\
 +
\hline
 +
\end{tabular}\end{quote}
 +
 +
\subsection{Table A3.  $\operatorname{E}f$ Expanded Over Differential Features $\{ \operatorname{d}x, \operatorname{d}y \}$}
 +
 +
\begin{quote}\begin{tabular}{|c|c||c|c|c|c|}
 +
\multicolumn{6}{c}{\textbf{Table A3.  $\operatorname{E}f$ Expanded Over Differential Features $\{ \operatorname{d}x, \operatorname{d}y \}$}} \\
 +
\hline
 +
& &
 +
$\operatorname{T}_{11}$ &
 +
$\operatorname{T}_{10}$ &
 +
$\operatorname{T}_{01}$ &
 +
$\operatorname{T}_{00}$ \\
 +
& $f$ &
 +
$\operatorname{E}f|_{\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y}$  &
 +
$\operatorname{E}f|_{\operatorname{d}x (\operatorname{d}y)}$  &
 +
$\operatorname{E}f|_{(\operatorname{d}x) \operatorname{d}y}$  &
 +
$\operatorname{E}f|_{(\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)}$ \\
 +
\hline
 +
$f_{0}$  & $(~)$      & $(~)$      & $(~)$      & $(~)$      & $(~)$      \\
 +
\hline
 +
$f_{1}$  & $(x)(y)$    & $x\ y$      & $x\ (y)$    & $(x)\ y$    & $(x)(y)$    \\
 +
$f_{2}$  & $(x)\ y$    & $x\ (y)$    & $x\ y$      & $(x)(y)$    & $(x)\ y$    \\
 +
$f_{4}$  & $x\ (y)$    & $(x)\ y$    & $(x)(y)$    & $x\ y$      & $x\ (y)$    \\
 +
$f_{8}$  & $x\ y$      & $(x)(y)$    & $(x)\ y$    & $x\ (y)$    & $x\ y$      \\
 +
\hline
 +
$f_{3}$  & $(x)$      & $x$        & $x$        & $(x)$      & $(x)$      \\
 +
$f_{12}$ & $x$        & $(x)$      & $(x)$      & $x$        & $x$        \\
 +
\hline
 +
$f_{6}$  & $(x,\ y)$  & $(x,\ y)$  & $((x,\ y))$ & $((x,\ y))$ & $(x,\ y)$  \\
 +
$f_{9}$  & $((x,\ y))$ & $((x,\ y))$ & $(x,\ y)$  & $(x,\ y)$  & $((x,\ y))$ \\
 +
\hline
 +
$f_{5}$  & $(y)$      & $y$        & $(y)$      & $y$        & $(y)$      \\
 +
$f_{10}$ & $y$        & $(y)$      & $y$        & $(y)$      & $y$        \\
 +
\hline
 +
$f_{7}$  & $(x\ y)$    & $((x)(y))$  & $((x)\ y)$  & $(x\ (y))$  & $(x\ y)$    \\
 +
$f_{11}$ & $(x\ (y))$  & $((x)\ y)$  & $((x)(y))$  & $(x\ y)$    & $(x\ (y))$  \\
 +
$f_{13}$ & $((x)\ y)$  & $(x\ (y))$  & $(x\ y)$    & $((x)(y))$  & $((x)\ y)$  \\
 +
$f_{14}$ & $((x)(y))$  & $(x\ y)$    & $(x\ (y))$  & $((x)\ y)$  & $((x)(y))$  \\
 +
\hline
 +
$f_{15}$ & $((~))$    & $((~))$    & $((~))$    & $((~))$    & $((~))$    \\
 +
\hline
 +
\multicolumn{2}{|c||}{\PMlinkname{Fixed Point}{FixedPoint} Total:} & 4 & 4 & 4 & 16 \\
 +
\hline
 +
\end{tabular}\end{quote}
 +
 +
\subsection{Table A4.  $\operatorname{D}f$ Expanded Over Differential Features $\{ \operatorname{d}x, \operatorname{d}y \}$}
 +
 +
\begin{quote}\begin{tabular}{|c|c||c|c|c|c|}
 +
\multicolumn{6}{c}{\textbf{Table A4.  $\operatorname{D}f$ Expanded Over Differential Features $\{ \operatorname{d}x, \operatorname{d}y \}$}} \\
 +
\hline
 +
& $f$ &
 +
$\operatorname{D}f|_{\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y}$  &
 +
$\operatorname{D}f|_{\operatorname{d}x (\operatorname{d}y)}$  &
 +
$\operatorname{D}f|_{(\operatorname{d}x) \operatorname{d}y}$  &
 +
$\operatorname{D}f|_{(\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)}$ \\
 +
\hline
 +
$f_{0}$  & $(~)$      & $(~)$      & $(~)$  & $(~)$  & $(~)$ \\
 +
\hline
 +
$f_{1}$  & $(x)(y)$    & $((x,\ y))$ & $(y)$  & $(x)$  & $(~)$ \\
 +
$f_{2}$  & $(x)\ y$    & $(x,\ y)$  & $y$    & $(x)$  & $(~)$ \\
 +
$f_{4}$  & $x\ (y)$    & $(x,\ y)$  & $(y)$  & $x$    & $(~)$ \\
 +
$f_{8}$  & $x\ y$      & $((x,\ y))$ & $y$    & $x$    & $(~)$ \\
 +
\hline
 +
$f_{3}$  & $(x)$      & $((~))$    & $((~))$ & $(~)$  & $(~)$ \\
 +
$f_{12}$ & $x$        & $((~))$    & $((~))$ & $(~)$  & $(~)$ \\
 +
\hline
 +
$f_{6}$  & $(x,\ y)$  & $(~)$      & $((~))$ & $((~))$ & $(~)$ \\
 +
$f_{9}$  & $((x,\ y))$ & $(~)$      & $((~))$ & $((~))$ & $(~)$ \\
 +
\hline
 +
$f_{5}$  & $(y)$      & $((~))$    & $(~)$  & $((~))$ & $(~)$ \\
 +
$f_{10}$ & $y$        & $((~))$    & $(~)$  & $((~))$ & $(~)$ \\
 +
\hline
 +
$f_{7}$  & $(x\ y)$    & $((x,\ y))$ & $y$    & $x$    & $(~)$ \\
 +
$f_{11}$ & $(x\ (y))$  & $(x,\ y)$  & $(y)$  & $x$    & $(~)$ \\
 +
$f_{13}$ & $((x)\ y)$  & $(x,\ y)$  & $y$    & $(x)$  & $(~)$ \\
 +
$f_{14}$ & $((x)(y))$  & $((x,\ y))$ & $(y)$  & $(x)$  & $(~)$ \\
 +
\hline
 +
$f_{15}$ & $((~))$    & $(~)$      & $(~)$  & $(~)$  & $(~)$ \\
 +
\hline
 +
\end{tabular}\end{quote}
 +
 +
\subsection{Table A5.  $\operatorname{E}f$ Expanded Over Ordinary Features $\{ x, y \}$}
 +
 +
\begin{quote}\begin{tabular}{|c|c||c|c|c|c|}
 +
\multicolumn{6}{c}{\textbf{Table A5.  $\operatorname{E}f$ Expanded Over Ordinary Features $\{ x, y \}$}} \\
 +
\hline
 +
& $f$ &
 +
$\operatorname{E}f|_{x\ y}$  &
 +
$\operatorname{E}f|_{x (y)}$  &
 +
$\operatorname{E}f|_{(x) y}$  &
 +
$\operatorname{E}f|_{(x)(y)}$ \\
 +
\hline
 +
$f_{0}$ &
 +
$(~)$  &
 +
$(~)$  &
 +
$(~)$  &
 +
$(~)$  &
 +
$(~)$  \\
 +
\hline
 +
$f_{1}$  &
 +
$(x)(y)$ &
 +
$\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y$  &
 +
$\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)$ &
 +
$(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y$ &
 +
$(\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)$ \\
 +
$f_{2}$  &
 +
$(x)\ y$ &
 +
$\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)$ &
 +
$\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y$  &
 +
$(\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)$ &
 +
$(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y$ \\
 +
$f_{4}$  &
 +
$x\ (y)$ &
 +
$(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y$ &
 +
$(\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)$ &
 +
$\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y$  &
 +
$\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)$ \\
 +
$f_{8}$ &
 +
$x\ y$  &
 +
$(\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y)$ &
 +
$(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y$ &
 +
$\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)$ &
 +
$\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y$  \\
 +
\hline
 +
$f_{3}$ &
 +
$(x)$  &
 +
$\operatorname{d}x$  &
 +
$\operatorname{d}x$  &
 +
$(\operatorname{d}x)$ &
 +
$(\operatorname{d}x)$ \\
 +
$f_{12}$ &
 +
$x$      &
 +
$(\operatorname{d}x)$ &
 +
$(\operatorname{d}x)$ &
 +
$\operatorname{d}x$  &
 +
$\operatorname{d}x$  \\
 +
\hline
 +
$f_{6}$  &
 +
$(x,\ y)$ &
 +
$(\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y)$  &
 +
$((\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y))$ &
 +
$((\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y))$ &
 +
$(\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y)$  \\
 +
$f_{9}$    &
 +
$((x,\ y))$ &
 +
$((\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y))$ &
 +
$(\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y)$  &
 +
$(\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y)$  &
 +
$((\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y))$ \\
 +
\hline
 +
$f_{5}$ &
 +
$(y)$  &
 +
$\operatorname{d}y$  &
 +
$(\operatorname{d}y)$ &
 +
$\operatorname{d}y$  &
 +
$(\operatorname{d}y)$ \\
 +
$f_{10}$ &
 +
$y$      &
 +
$(\operatorname{d}y)$ &
 +
$\operatorname{d}y$  &
 +
$(\operatorname{d}y)$ &
 +
$\operatorname{d}y$  \\
 +
\hline
 +
$f_{7}$  &
 +
$(x\ y)$ &
 +
$((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))$ &
 +
$((\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y)$ &
 +
$(\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y))$ &
 +
$(\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y)$  \\
 +
$f_{11}$  &
 +
$(x\ (y))$ &
 +
$((\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y)$ &
 +
$((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))$ &
 +
$(\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y)$  &
 +
$(\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y))$ \\
 +
$f_{13}$  &
 +
$((x)\ y)$ &
 +
$(\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y))$ &
 +
$(\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y)$  &
 +
$((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))$ &
 +
$((\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y)$ \\
 +
$f_{14}$  &
 +
$((x)(y))$ &
 +
$(\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y)$  &
 +
$(\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y))$ &
 +
$((\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y)$ &
 +
$((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))$ \\
 +
\hline
 +
$f_{15}$ &
 +
$((~))$  &
 +
$((~))$  &
 +
$((~))$  &
 +
$((~))$  &
 +
$((~))$  \\
 +
\hline
 +
\end{tabular}\end{quote}
 +
 +
\subsection{Table A6.  $\operatorname{D}f$ Expanded Over Ordinary Features $\{ x, y \}$}
 +
 +
\begin{quote}\begin{tabular}{|c|c||c|c|c|c|}
 +
\multicolumn{6}{c}{\textbf{Table A6.  $\operatorname{D}f$ Expanded Over Ordinary Features $\{ x, y \}$}} \\
 +
\hline
 +
& $f$ &
 +
$\operatorname{D}f|_{x\ y}$  &
 +
$\operatorname{D}f|_{x (y)}$  &
 +
$\operatorname{D}f|_{(x) y}$  &
 +
$\operatorname{D}f|_{(x)(y)}$ \\
 +
\hline
 +
$f_{0}$ &
 +
$(~)$  &
 +
$(~)$  &
 +
$(~)$  &
 +
$(~)$  &
 +
$(~)$  \\
 +
\hline
 +
$f_{1}$  &
 +
$(x)(y)$ &
 +
$\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y$    &
 +
$\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)$  &
 +
$(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y$  &
 +
$((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))$ \\
 +
$f_{2}$  &
 +
$(x)\ y$ &
 +
$\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)$  &
 +
$\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y$    &
 +
$((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))$ &
 +
$(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y$  \\
 +
$f_{4}$  &
 +
$x\ (y)$ &
 +
$(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y$  &
 +
$((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))$ &
 +
$\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y$    &
 +
$\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)$  \\
 +
$f_{8}$ &
 +
$x\ y$  &
 +
$((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))$ &
 +
$(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y$  &
 +
$\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)$  &
 +
$\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y$    \\
 +
\hline
 +
$f_{3}$ &
 +
$(x)$  &
 +
$\operatorname{d}x$ &
 +
$\operatorname{d}x$ &
 +
$\operatorname{d}x$ &
 +
$\operatorname{d}x$ \\
 +
$f_{12}$ &
 +
$x$      &
 +
$\operatorname{d}x$ &
 +
$\operatorname{d}x$ &
 +
$\operatorname{d}x$ &
 +
$\operatorname{d}x$ \\
 +
\hline
 +
$f_{6}$  &
 +
$(x,\ y)$ &
 +
$(\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y)$ &
 +
$(\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y)$ &
 +
$(\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y)$ &
 +
$(\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y)$ \\
 +
$f_{9}$    &
 +
$((x,\ y))$ &
 +
$(\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y)$ &
 +
$(\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y)$ &
 +
$(\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y)$ &
 +
$(\operatorname{d}x,\ \operatorname{d}y)$ \\
 +
\hline
 +
$f_{5}$ &
 +
$(y)$  &
 +
$\operatorname{d}y$ &
 +
$\operatorname{d}y$ &
 +
$\operatorname{d}y$ &
 +
$\operatorname{d}y$ \\
 +
$f_{10}$ &
 +
$y$      &
 +
$\operatorname{d}y$ &
 +
$\operatorname{d}y$ &
 +
$\operatorname{d}y$ &
 +
$\operatorname{d}y$ \\
 +
\hline
 +
$f_{7}$  &
 +
$(x\ y)$ &
 +
$((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))$ &
 +
$(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y$  &
 +
$\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)$  &
 +
$\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y$    \\
 +
$f_{11}$  &
 +
$(x\ (y))$ &
 +
$(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y$  &
 +
$((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))$ &
 +
$\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y$    &
 +
$\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)$  \\
 +
$f_{13}$  &
 +
$((x)\ y)$ &
 +
$\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)$  &
 +
$\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y$    &
 +
$((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))$ &
 +
$(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y$  \\
 +
$f_{14}$  &
 +
$((x)(y))$ &
 +
$\operatorname{d}x\ \operatorname{d}y$    &
 +
$\operatorname{d}x\ (\operatorname{d}y)$  &
 +
$(\operatorname{d}x)\ \operatorname{d}y$  &
 +
$((\operatorname{d}x)(\operatorname{d}y))$ \\
 +
\hline
 +
$f_{15}$ &
 +
$((~))$  &
 +
$(~)$    &
 +
$(~)$    &
 +
$(~)$    &
 +
$(~)$    \\
 +
\hline
 +
\end{tabular}\end{quote}
 +
</pre>
 +
 +
==Group Operation Tables==
 +
 +
<br>
 +
 +
{| align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" style="border-left:1px solid black; border-top:1px solid black; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; text-align:center; width:80%"
 +
|+ <math>\text{Table 32.1}~~\text{Scheme of a Group Operation Table}</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| style="border-bottom:1px solid black; border-right:1px solid black" | <math>*\!</math>
 +
| style="border-bottom:1px solid black" | <math>x_0\!</math>
 +
| style="border-bottom:1px solid black" | <math>\cdots\!</math>
 +
| style="border-bottom:1px solid black" | <math>x_j\!</math>
 +
| style="border-bottom:1px solid black" | <math>\cdots\!</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>x_0\!</math>
 +
| <math>x_0 * x_0\!</math>
 +
| <math>\cdots\!</math>
 +
| <math>x_0 * x_j\!</math>
 +
| <math>\cdots\!</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>\cdots\!</math>
 +
| <math>\cdots\!</math>
 +
| <math>\cdots\!</math>
 +
| <math>\cdots\!</math>
 +
| <math>\cdots\!</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>x_i\!</math>
 +
| <math>x_i * x_0\!</math>
 +
| <math>\cdots\!</math>
 +
| <math>x_i * x_j\!</math>
 +
| <math>\cdots\!</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| width="12%" style="border-right:1px solid black" | <math>\cdots\!</math>
 +
| width="22%" | <math>\cdots\!</math>
 +
| width="22%" | <math>\cdots\!</math>
 +
| width="22%" | <math>\cdots\!</math>
 +
| width="22%" | <math>\cdots\!</math>
 +
|}
 +
 +
<br>
 +
 +
{| align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" style="border-left:1px solid black; border-top:1px solid black; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; text-align:center; width:80%"
 +
|+ <math>\text{Table 32.2}~~\text{Scheme of the Regular Ante-Representation}</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| style="border-bottom:1px solid black; border-right:1px solid black" | <math>\text{Element}\!</math>
 +
| colspan="6" style="border-bottom:1px solid black" | <math>\text{Function as Set of Ordered Pairs of Elements}\!</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>x_0\!</math>
 +
| <math>\{\!</math>
 +
| <math>(x_0 ~,~ x_0 * x_0),\!</math>
 +
| <math>\cdots\!</math>
 +
| <math>(x_j ~,~ x_0 * x_j),\!</math>
 +
| <math>\cdots\!</math>
 +
| <math>\}\!</math>
 +
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| <math>\cdots\!</math>
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| <math>\cdots\!</math>
 +
| <math>\cdots\!</math>
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|}
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 +
<br>
 +
 +
{| align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" style="border-left:1px solid black; border-top:1px solid black; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; text-align:center; width:80%"
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|+ <math>\text{Table 32.3}~~\text{Scheme of the Regular Post-Representation}</math>
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| colspan="6" style="border-bottom:1px solid black" | <math>\text{Function as Set of Ordered Pairs of Elements}\!</math>
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 +
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 +
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| <math>\cdots\!</math>
 +
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 +
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 +
| <math>(x_0 ~,~ x_0 * x_i),\!</math>
 +
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 +
| <math>(x_j ~,~ x_j * x_i),\!</math>
 +
| <math>\cdots\!</math>
 +
| <math>\}\!</math>
 +
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 +
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 +
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 +
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 +
|}
 +
 +
<br>
 +
 +
{| align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" style="border-left:1px solid black; border-top:1px solid black; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; text-align:center; width:60%"
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
|- style="height:50px"
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|}
 +
 +
<br>
 +
 +
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|+ <math>\text{Table 33.2}~~\text{Regular Representation of the Group}~V_4</math>
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 +
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 +
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 +
|- style="height:50px"
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 +
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 +
| <math>(\operatorname{f}, \operatorname{e}),</math>
 +
| <math>(\operatorname{g}, \operatorname{h}),</math>
 +
| <math>(\operatorname{h}, \operatorname{g})</math>
 +
| <math>\}\!</math>
 +
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 +
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 +
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 +
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 +
| <math>(\operatorname{h}, \operatorname{f})</math>
 +
| <math>\}\!</math>
 +
|- style="height:50px"
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 +
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 +
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 +
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 +
 +
<br>
 +
 +
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|+ <math>\text{Table 33.3}~~\text{Regular Representation of the Group}~V_4</math>
 +
|- style="height:50px"
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 +
| colspan="6" style="border-bottom:1px solid black" | <math>\text{Function as Set of Ordered Pairs of Symbols}\!</math>
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
| <math>({}^{\backprime\backprime}\text{e}{}^{\prime\prime}, {}^{\backprime\backprime}\text{f}{}^{\prime\prime}),</math>
 +
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 +
| <math>({}^{\backprime\backprime}\text{g}{}^{\prime\prime}, {}^{\backprime\backprime}\text{h}{}^{\prime\prime}),</math>
 +
| <math>({}^{\backprime\backprime}\text{h}{}^{\prime\prime}, {}^{\backprime\backprime}\text{g}{}^{\prime\prime})</math>
 +
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 +
|- style="height:50px"
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 +
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 +
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 +
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 +
|- style="height:50px"
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 +
| <math>({}^{\backprime\backprime}\text{e}{}^{\prime\prime}, {}^{\backprime\backprime}\text{h}{}^{\prime\prime}),</math>
 +
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 +
| <math>({}^{\backprime\backprime}\text{g}{}^{\prime\prime}, {}^{\backprime\backprime}\text{f}{}^{\prime\prime}),</math>
 +
| <math>({}^{\backprime\backprime}\text{h}{}^{\prime\prime}, {}^{\backprime\backprime}\text{e}{}^{\prime\prime})</math>
 +
| <math>\}\!</math>
 +
|}
 +
 +
<br>
 +
 +
{| align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" style="border-left:1px solid black; border-top:1px solid black; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; text-align:center; width:60%"
 +
|+ <math>\text{Table 34.1}~~\text{Multiplicative Presentation of the Group}~Z_4(\cdot)</math>
 +
|- style="height:50px"
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 +
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 +
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|- style="height:50px"
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 +
|- style="height:50px"
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 +
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 +
|- style="height:50px"
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 +
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 +
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 +
|- style="height:50px"
 +
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 +
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 +
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 +
| <math>\operatorname{b}</math>
 +
|}
 +
 +
<br>
 +
 +
{| align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" style="border-left:1px solid black; border-top:1px solid black; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; text-align:center; width:60%"
 +
|+ <math>\text{Table 34.2}~~\text{Regular Representation of the Group}~Z_4(\cdot)</math>
 +
|- style="height:50px"
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| style="border-bottom:1px solid black; border-right:1px solid black" | <math>\text{Element}\!</math>
 +
| colspan="6" style="border-bottom:1px solid black" | <math>\text{Function as Set of Ordered Pairs of Elements}\!</math>
 +
|- style="height:50px"
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 +
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 +
| width="16%" | <math>(\operatorname{c}, \operatorname{c})</math>
 +
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 +
|- style="height:50px"
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 +
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 +
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 +
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 +
| <math>\}\!</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
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 +
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| <math>(\operatorname{1}, \operatorname{b}),</math>
 +
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 +
| <math>(\operatorname{b}, \operatorname{1}),</math>
 +
| <math>(\operatorname{c}, \operatorname{a})</math>
 +
| <math>\}\!</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
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 +
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 +
| <math>(\operatorname{1}, \operatorname{c}),</math>
 +
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 +
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 +
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 +
| <math>\}\!</math>
 +
|}
 +
 +
<br>
 +
 +
{| align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" style="border-left:1px solid black; border-top:1px solid black; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; text-align:center; width:60%"
 +
|+ <math>\text{Table 35.1}~~\text{Additive Presentation of the Group}~Z_4(+)</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| width="20%" style="border-bottom:1px solid black; border-right:1px solid black" | <math>+\!</math>
 +
| width="20%" style="border-bottom:1px solid black" | <math>\operatorname{0}</math>
 +
| width="20%" style="border-bottom:1px solid black" | <math>\operatorname{1}</math>
 +
| width="20%" style="border-bottom:1px solid black" | <math>\operatorname{2}</math>
 +
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 +
|- style="height:50px"
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{0}</math>
 +
| <math>\operatorname{0}</math>
 +
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 +
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| <math>\operatorname{3}</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
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 +
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 +
| <math>\operatorname{3}</math>
 +
| <math>\operatorname{0}</math>
 +
|- style="height:50px"
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 +
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 +
| <math>\operatorname{3}</math>
 +
| <math>\operatorname{0}</math>
 +
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 +
|- style="height:50px"
 +
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 +
| <math>\operatorname{3}</math>
 +
| <math>\operatorname{0}</math>
 +
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 +
| <math>\operatorname{2}</math>
 +
|}
 +
 +
<br>
 +
 +
{| align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" style="border-left:1px solid black; border-top:1px solid black; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; text-align:center; width:60%"
 +
|+ <math>\text{Table 35.2}~~\text{Regular Representation of the Group}~Z_4(+)</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| style="border-bottom:1px solid black; border-right:1px solid black" | <math>\text{Element}\!</math>
 +
| colspan="6" style="border-bottom:1px solid black" | <math>\text{Function as Set of Ordered Pairs of Elements}\!</math>
 +
|- style="height:50px"
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 +
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 +
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 +
|- style="height:50px"
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 +
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| <math>(\operatorname{1}, \operatorname{2}),</math>
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 +
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 +
| <math>\}\!</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
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 +
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 +
| <math>(\operatorname{2}, \operatorname{0}),</math>
 +
| <math>(\operatorname{3}, \operatorname{1})</math>
 +
| <math>\}\!</math>
 +
|- style="height:50px"
 +
| style="border-right:1px solid black" | <math>\operatorname{3}</math>
 +
| <math>\{\!</math>
 +
| <math>(\operatorname{0}, \operatorname{3}),</math>
 +
| <math>(\operatorname{1}, \operatorname{0}),</math>
 +
| <math>(\operatorname{2}, \operatorname{1}),</math>
 +
| <math>(\operatorname{3}, \operatorname{2})</math>
 +
| <math>\}\!</math>
 +
|}
 +
 +
<br>
 +
 +
==Higher Order Propositions==
 +
 +
<br>
 +
 +
<table align="center" cellpadding="4" cellspacing="0" style="text-align:center; width:90%">
 +
 +
<caption><font size="+2"><math>\text{Table 1.} ~~ \text{Higher Order Propositions} ~ (n = 1)</math></font></caption>
 +
 +
<tr>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black" align="right"><math>x:</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>1 ~ 0</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black; border-right:2px solid black"><math>f</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>m_{0}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>m_{1}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>m_{2}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>m_{3}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>m_{4}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>m_{5}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>m_{6}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>m_{7}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>m_{8}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>m_{9}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>m_{10}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>m_{11}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>m_{12}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>m_{13}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>m_{14}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>m_{15}</math></td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{0}</math></td>
 +
<td><math>0 ~ 0</math></td>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{(~)}</math></td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{1}</math></td>
 +
<td><math>0 ~ 1</math></td>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{(} x \texttt{)}</math></td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{2}</math></td>
 +
<td><math>1 ~ 0</math></td>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>x</math></td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{3}</math></td>
 +
<td><math>1 ~ 1</math></td>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{((~))}</math></td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 +
</table>
 +
 +
<br>
 +
 +
<table align="center" border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="text-align:center; width:90%">
 +
 +
<caption><font size="+2"><math>\text{Table 2.} ~~ \text{Interpretive Categories for Higher Order Propositions} ~ (n = 1)</math></font></caption>
 +
 +
<tr>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black; border-right:2px solid black">Measure</td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black">Happening</td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black">Exactness</td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black">Existence</td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black">Linearity</td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black">Uniformity</td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black">Information</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>m_{0}</math></td>
 +
<td>Nothing happens</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>m_{1}</math></td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>Just false</td>
 +
<td>Nothing exists</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>m_{2}</math></td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>Just not <math>x</math></td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>m_{3}</math></td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>Nothing is <math>x</math></td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>m_{4}</math></td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>Just <math>x</math></td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>m_{5}</math></td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>Everything is <math>x</math></td>
 +
<td><math>f</math> is linear</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>m_{6}</math></td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td><math>f</math> is not uniform</td>
 +
<td><math>f</math> is informed</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>m_{7}</math></td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>Not just true</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>m_{8}</math></td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>Just true</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>m_{9}</math></td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td><math>f</math> is uniform</td>
 +
<td><math>f</math> is not informed</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>m_{10}</math></td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>Something is not <math>x</math></td>
 +
<td><math>f</math> is not linear</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>m_{11}</math></td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>Not just <math>x</math></td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>m_{12}</math></td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>Something is <math>x</math></td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>m_{13}</math></td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>Not just not <math>x</math></td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>m_{14}</math></td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>Not just false</td>
 +
<td>Something exists</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>m_{15}</math></td>
 +
<td>Anything happens</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td></tr>
 +
 +
</table>
 +
 +
<br>
 +
 +
<table align="center" cellpadding="1" cellspacing="0" style="background:white; color:black; text-align:center; width:90%">
 +
 +
<caption><font size="+2"><math>\text{Table 3.} ~~ \text{Higher Order Propositions} ~ (n = 2)</math></font></caption>
 +
 +
<tr>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black" align="right"><math>\begin{matrix}u\!:\\v\!:\end{matrix}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black">
 +
<math>\begin{matrix}1100\\1010\end{matrix}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black; border-right:2px solid black"><math>f</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\underset{0}{m}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\underset{1}{m}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\underset{2}{m}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\underset{3}{m}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\underset{4}{m}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\underset{5}{m}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\underset{6}{m}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\underset{7}{m}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\underset{8}{m}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\underset{9}{m}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\underset{10}{m}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\underset{11}{m}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\underset{12}{m}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\underset{13}{m}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\underset{14}{m}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\underset{15}{m}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\underset{16}{m}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\underset{17}{m}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\underset{18}{m}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\underset{19}{m}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\underset{20}{m}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\underset{21}{m}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\underset{22}{m}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\underset{23}{m}</math></td>
 +
</tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{0}</math></td>
 +
<td><math>0000</math></td>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{(~)}</math></td>
 +
<td>0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td>0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td>0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td>0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td>0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td>0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td>0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td>0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td>0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td>0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td>0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td>0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{1}</math></td>
 +
<td><math>0001</math></td>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{(} u \texttt{)(} v \texttt{)}</math></td>
 +
<td>0</td><td>0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td>0</td><td>0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td>0</td><td>0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td>0</td><td>0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td>0</td><td>0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td>0</td><td>0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{2}</math></td>
 +
<td><math>0010</math></td>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{(} u\texttt{)} ~ v</math></td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{3}</math></td>
 +
<td><math>0011</math></td>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{(} u \texttt{)}</math></td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{4}</math></td>
 +
<td><math>0100</math></td>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>u ~ \texttt{(} v \texttt{)}</math></td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{5}</math></td>
 +
<td><math>0101</math></td>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{(} v \texttt{)}</math></td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{6}</math></td>
 +
<td><math>0110</math></td>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{(} u \texttt{,} v \texttt{)}</math></td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{7}</math></td>
 +
<td><math>0111</math></td>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{(} u ~ v \texttt{)}</math></td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{8}</math></td>
 +
<td><math>1000</math></td>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>u ~ v</math></td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{9}</math></td>
 +
<td><math>1001</math></td>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{((} u \texttt{,} v \texttt{))}</math></td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{10}</math></td>
 +
<td><math>1010</math></td>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>v</math></td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{11}</math></td>
 +
<td><math>1011</math></td>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{(} u ~ \texttt{(} v \texttt{))}</math></td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td>
 +
<td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{12}</math></td>
 +
<td><math>1100</math></td>
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<caption><font size="+2"><math>\text{Table 4.} ~~ \text{Qualifiers of the Implication Ordering:} ~ \alpha_{i} f = \Upsilon (f_{i}, f) = \Upsilon (f_{i} \Rightarrow f)</math></font></caption>
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<tr>
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<td><math>f_{5}</math></td>
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 +
 +
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 +
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<table align="center" cellpadding="1" cellspacing="0" style="text-align:center; width:90%">
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<caption><font size="+2"><math>\text{Table 5.} ~~ \text{Qualifiers of the Implication Ordering:} ~ \beta_i f = \Upsilon (f, f_i) = \Upsilon (f \Rightarrow f_i)</math></font></caption>
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 +
<math>\begin{matrix}1100\\1010\end{matrix}</math></td>
 +
 +
<td style="border-bottom:2px solid black; border-right:2px solid black"><math>f</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\beta_{0}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:2px solid black"><math>\beta_{1}</math></td>
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{1}</math></td>
 +
<td><math>0001</math></td>
 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{2}</math></td>
 +
<td><math>0010</math></td>
 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{3}</math></td>
 +
<td><math>0011</math></td>
 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{4}</math></td>
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<td><math>0100</math></td>
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 +
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 +
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 +
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 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{5}</math></td>
 +
<td><math>0101</math></td>
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 +
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 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{6}</math></td>
 +
<td><math>0110</math></td>
 +
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 +
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 +
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 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{7}</math></td>
 +
<td><math>0111</math></td>
 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{8}</math></td>
 +
<td><math>1000</math></td>
 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{9}</math></td>
 +
<td><math>1001</math></td>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{((} u \texttt{,} v \texttt{))}</math></td>
 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
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 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{10}</math></td>
 +
<td><math>1010</math></td>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>v</math></td>
 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{11}</math></td>
 +
<td><math>1011</math></td>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{(} u ~ \texttt{(} v \texttt{))}</math></td>
 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{12}</math></td>
 +
<td><math>1100</math></td>
 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
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 +
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 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{13}</math></td>
 +
<td><math>1101</math></td>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{((} u \texttt{)} ~ v \texttt{)}</math></td>
 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{14}</math></td>
 +
<td><math>1110</math></td>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{((} u \texttt{)(} v \texttt{))}</math></td>
 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
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 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{15}</math></td>
 +
<td><math>1111</math></td>
 +
<td style="border-right:2px solid black"><math>\texttt{((~))}</math></td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
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 +
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 +
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 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
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 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 +
</table>
 +
 +
<br>
 +
 +
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="text-align:center; width:90%"
 +
|+ <math>\text{Table 7.} ~~ \text{Syllogistic Premisses as Higher Order Indicator Functions}</math>
 +
|
 +
<math>\begin{array}{clcl}
 +
\mathrm{A}
 +
& \mathrm{Universal~Affirmative}
 +
& \mathrm{All} ~ u ~ \mathrm{is} ~ v
 +
& \mathrm{Indicator~of} ~ u \texttt{(} v \texttt{)} = 0
 +
\\
 +
\mathrm{E}
 +
& \mathrm{Universal~Negative}
 +
& \mathrm{All} ~ u ~ \mathrm{is} ~ \texttt{(} v \texttt{)}
 +
& \mathrm{Indicator~of} ~ u \cdot v = 0
 +
\\
 +
\mathrm{I}
 +
& \mathrm{Particular~Affirmative}
 +
& \mathrm{Some} ~ u ~ \mathrm{is} ~ v
 +
& \mathrm{Indicator~of} ~ u \cdot v = 1
 +
\\
 +
\mathrm{O}
 +
& \mathrm{Particular~Negative}
 +
& \mathrm{Some} ~ u ~ \mathrm{is} ~ \texttt{(} v \texttt{)}
 +
& \mathrm{Indicator~of} ~ u \texttt{(} v \texttt{)} = 1
 +
\end{array}</math>
 +
|}
 +
 +
<br>
 +
 +
<table align="center" cellpadding="4" cellspacing="0" style="border-left:1px solid black; border-top:1px solid black; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; text-align:center; width:90%">
 +
 +
<caption><font size="+2"><math>\text{Table 8.} ~~ \text{Simple Qualifiers of Propositions (Version 1)}</math></font></caption>
 +
 +
<tr>
 +
<td width="4%" style="border-bottom:1px solid black" align="right">
 +
<math>\begin{matrix}u\!:\\v\!:\end{matrix}</math></td>
 +
<td width="6%" style="border-bottom:1px solid black">
 +
<math>\begin{matrix}1100\\1010\end{matrix}</math></td>
 +
<td width="10%" style="border-bottom:1px solid black; border-right:1px solid black">
 +
<math>f</math></td>
 +
<td width="10%" style="border-bottom:1px solid black">
 +
<math>\begin{smallmatrix}
 +
\texttt{(} \ell_{11} \texttt{)}
 +
\\
 +
\mathrm{No} ~ u
 +
\\
 +
\mathrm{is} ~ v
 +
\end{smallmatrix}</math></td>
 +
<td width="10%" style="border-bottom:1px solid black">
 +
<math>\begin{smallmatrix}
 +
\texttt{(} \ell_{10} \texttt{)}
 +
\\
 +
\mathrm{No} ~ u
 +
\\
 +
\mathrm{is} ~ \texttt{(} v \texttt{)}
 +
\end{smallmatrix}</math></td>
 +
<td width="10%" style="border-bottom:1px solid black">
 +
<math>\begin{smallmatrix}
 +
\texttt{(} \ell_{01} \texttt{)}
 +
\\
 +
\mathrm{No} ~ \texttt{(} u \texttt{)}
 +
\\
 +
\mathrm{is} ~ v
 +
\end{smallmatrix}</math></td>
 +
<td width="10%" style="border-bottom:1px solid black">
 +
<math>\begin{smallmatrix}
 +
\texttt{(} \ell_{00} \texttt{)}
 +
\\
 +
\mathrm{No} ~ \texttt{(} u \texttt{)}
 +
\\
 +
\mathrm{is} ~ \texttt{(} v \texttt{)}
 +
\end{smallmatrix}</math></td>
 +
<td width="10%" style="border-bottom:1px solid black">
 +
<math>\begin{smallmatrix}
 +
\ell_{00}
 +
\\
 +
\mathrm{Some} ~ \texttt{(} u \texttt{)}
 +
\\
 +
\mathrm{is} ~ \texttt{(} v \texttt{)}
 +
\end{smallmatrix}</math></td>
 +
<td width="10%" style="border-bottom:1px solid black">
 +
<math>\begin{smallmatrix}
 +
\ell_{01}
 +
\\
 +
\mathrm{Some} ~ \texttt{(} u \texttt{)}
 +
\\
 +
\mathrm{is} ~ v
 +
\end{smallmatrix}</math></td>
 +
<td width="10%" style="border-bottom:1px solid black">
 +
<math>\begin{smallmatrix}
 +
\ell_{10}
 +
\\
 +
\mathrm{Some} ~ u
 +
\\
 +
\mathrm{is} ~ \texttt{(} v \texttt{)}
 +
\end{smallmatrix}</math></td>
 +
<td width="10%" style="border-bottom:1px solid black">
 +
<math>\begin{smallmatrix}
 +
\ell_{11}
 +
\\
 +
\mathrm{Some} ~ u
 +
\\
 +
\mathrm{is} ~ v
 +
\end{smallmatrix}</math></td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{0}</math></td>
 +
<td><math>0000</math></td>
 +
<td style="border-right:1px solid black"><math>\texttt{(~)}</math></td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{1}</math></td>
 +
<td><math>0001</math></td>
 +
<td style="border-right:1px solid black"><math>\texttt{(} u \texttt{)(} v \texttt{)}</math></td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{2}</math></td>
 +
<td><math>0010</math></td>
 +
<td style="border-right:1px solid black"><math>\texttt{(} u\texttt{)} ~ v</math></td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{3}</math></td>
 +
<td><math>0011</math></td>
 +
<td style="border-right:1px solid black"><math>\texttt{(} u \texttt{)}</math></td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{4}</math></td>
 +
<td><math>0100</math></td>
 +
<td style="border-right:1px solid black"><math>u ~ \texttt{(} v \texttt{)}</math></td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{5}</math></td>
 +
<td><math>0101</math></td>
 +
<td style="border-right:1px solid black"><math>\texttt{(} v \texttt{)}</math></td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{6}</math></td>
 +
<td><math>0110</math></td>
 +
<td style="border-right:1px solid black"><math>\texttt{(} u \texttt{,} v \texttt{)}</math></td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{7}</math></td>
 +
<td><math>0111</math></td>
 +
<td style="border-right:1px solid black"><math>\texttt{(} u ~ v \texttt{)}</math></td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{8}</math></td>
 +
<td><math>1000</math></td>
 +
<td style="border-right:1px solid black"><math>u ~ v</math></td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{9}</math></td>
 +
<td><math>1001</math></td>
 +
<td style="border-right:1px solid black"><math>\texttt{((} u \texttt{,} v \texttt{))}</math></td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{10}</math></td>
 +
<td><math>1010</math></td>
 +
<td style="border-right:1px solid black"><math>v</math></td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{11}</math></td>
 +
<td><math>1011</math></td>
 +
<td style="border-right:1px solid black"><math>\texttt{(} u ~ \texttt{(} v \texttt{))}</math></td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{12}</math></td>
 +
<td><math>1100</math></td>
 +
<td style="border-right:1px solid black"><math>u</math></td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{13}</math></td>
 +
<td><math>1101</math></td>
 +
<td style="border-right:1px solid black"><math>\texttt{((} u \texttt{)} ~ v \texttt{)}</math></td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{14}</math></td>
 +
<td><math>1110</math></td>
 +
<td style="border-right:1px solid black"><math>\texttt{((} u \texttt{)(} v \texttt{))}</math></td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{15}</math></td>
 +
<td><math>1111</math></td>
 +
<td style="border-right:1px solid black"><math>\texttt{((~))}</math></td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 +
</table>
 +
 +
<br>
 +
 +
<table align="center" cellpadding="4" cellspacing="0" style="border-left:1px solid black; border-top:1px solid black; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; text-align:center; width:90%">
 +
 +
<caption><font size="+2"><math>\text{Table 9.} ~~ \text{Simple Qualifiers of Propositions (Version 2)}</math></font></caption>
 +
 +
<tr>
 +
<td width="4%" style="border-bottom:1px solid black" align="right">
 +
<math>\begin{matrix}u\!:\\v\!:\end{matrix}</math></td>
 +
<td width="6%" style="border-bottom:1px solid black">
 +
<math>\begin{matrix}1100\\1010\end{matrix}</math></td>
 +
<td width="10%" style="border-bottom:1px solid black; border-right:1px solid black">
 +
<math>f</math></td>
 +
<td width="10%" style="border-bottom:1px solid black">
 +
<math>\begin{smallmatrix}
 +
\texttt{(} \ell_{11} \texttt{)}
 +
\\
 +
\mathrm{No} ~ u
 +
\\
 +
\mathrm{is} ~ v
 +
\end{smallmatrix}</math></td>
 +
<td width="10%" style="border-bottom:1px solid black">
 +
<math>\begin{smallmatrix}
 +
\texttt{(} \ell_{10} \texttt{)}
 +
\\
 +
\mathrm{No} ~ u
 +
\\
 +
\mathrm{is} ~ \texttt{(} v \texttt{)}
 +
\end{smallmatrix}</math></td>
 +
<td width="10%" style="border-bottom:1px solid black">
 +
<math>\begin{smallmatrix}
 +
\texttt{(} \ell_{01} \texttt{)}
 +
\\
 +
\mathrm{No} ~ \texttt{(} u \texttt{)}
 +
\\
 +
\mathrm{is} ~ v
 +
\end{smallmatrix}</math></td>
 +
<td width="10%" style="border-bottom:1px solid black">
 +
<math>\begin{smallmatrix}
 +
\texttt{(} \ell_{00} \texttt{)}
 +
\\
 +
\mathrm{No} ~ \texttt{(} u \texttt{)}
 +
\\
 +
\mathrm{is} ~ \texttt{(} v \texttt{)}
 +
\end{smallmatrix}</math></td>
 +
<td width="10%" style="border-bottom:1px solid black">
 +
<math>\begin{smallmatrix}
 +
\ell_{00}
 +
\\
 +
\mathrm{Some} ~ \texttt{(} u \texttt{)}
 +
\\
 +
\mathrm{is} ~ \texttt{(} v \texttt{)}
 +
\end{smallmatrix}</math></td>
 +
<td width="10%" style="border-bottom:1px solid black">
 +
<math>\begin{smallmatrix}
 +
\ell_{01}
 +
\\
 +
\mathrm{Some} ~ \texttt{(} u \texttt{)}
 +
\\
 +
\mathrm{is} ~ v
 +
\end{smallmatrix}</math></td>
 +
<td width="10%" style="border-bottom:1px solid black">
 +
<math>\begin{smallmatrix}
 +
\ell_{10}
 +
\\
 +
\mathrm{Some} ~ u
 +
\\
 +
\mathrm{is} ~ \texttt{(} v \texttt{)}
 +
\end{smallmatrix}</math></td>
 +
<td width="10%" style="border-bottom:1px solid black">
 +
<math>\begin{smallmatrix}
 +
\ell_{11}
 +
\\
 +
\mathrm{Some} ~ u
 +
\\
 +
\mathrm{is} ~ v
 +
\end{smallmatrix}</math></td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>f_{0}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>0000</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; border-right:1px solid black"><math>\texttt{(~)}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:white; color:black">0</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{1}</math></td>
 +
<td><math>0001</math></td>
 +
<td style="border-right:1px solid black"><math>\texttt{(} u \texttt{)(} v \texttt{)}</math></td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{2}</math></td>
 +
<td><math>0010</math></td>
 +
<td style="border-right:1px solid black"><math>\texttt{(} u\texttt{)} ~ v</math></td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{4}</math></td>
 +
<td><math>0100</math></td>
 +
<td style="border-right:1px solid black"><math>u ~ \texttt{(} v \texttt{)}</math></td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>f_{8}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>1000</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; border-right:1px solid black"><math>u ~ v</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{3}</math></td>
 +
<td><math>0011</math></td>
 +
<td style="border-right:1px solid black"><math>\texttt{(} u \texttt{)}</math></td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>f_{12}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>1100</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; border-right:1px solid black"><math>u</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{6}</math></td>
 +
<td><math>0110</math></td>
 +
<td style="border-right:1px solid black"><math>\texttt{(} u \texttt{,} v \texttt{)}</math></td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>f_{9}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>1001</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; border-right:1px solid black"><math>\texttt{((} u \texttt{,} v \texttt{))}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{5}</math></td>
 +
<td><math>0101</math></td>
 +
<td style="border-right:1px solid black"><math>\texttt{(} v \texttt{)}</math></td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>f_{10}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>1010</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; border-right:1px solid black"><math>v</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{7}</math></td>
 +
<td><math>0111</math></td>
 +
<td style="border-right:1px solid black"><math>\texttt{(} u ~ v \texttt{)}</math></td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{11}</math></td>
 +
<td><math>1011</math></td>
 +
<td style="border-right:1px solid black"><math>\texttt{(} u ~ \texttt{(} v \texttt{))}</math></td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{13}</math></td>
 +
<td><math>1101</math></td>
 +
<td style="border-right:1px solid black"><math>\texttt{((} u \texttt{)} ~ v \texttt{)}</math></td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>f_{14}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>1110</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; border-right:1px solid black"><math>\texttt{((} u \texttt{)(} v \texttt{))}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black; background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>f_{15}</math></td>
 +
<td><math>1111</math></td>
 +
<td style="border-right:1px solid black"><math>\texttt{((~))}</math></td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:white; color:black">0</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td>
 +
<td style="background:black; color:white">1</td></tr>
 +
 +
</table>
 +
 +
<br>
 +
 +
<table align="center" cellpadding="4" cellspacing="0" style="border-left:1px solid black; border-top:1px solid black; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black; text-align:center; width:90%">
 +
 +
<caption><font size="+2"><math>\text{Table 10.} ~~ \text{Relation of Quantifiers to Higher Order Propositions}</math></font></caption>
 +
 +
<tr>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>\mathrm{Mnemonic}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>\mathrm{Category}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>\mathrm{Classical~Form}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>\mathrm{Alternate~Form}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>\mathrm{Symmetric~Form}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>\mathrm{Operator}</math></td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>\begin{matrix}
 +
\mathrm{E}
 +
\\
 +
\mathrm{Exclusive}
 +
\end{matrix}</math></td>
 +
<td><math>\begin{matrix}
 +
\mathrm{Universal}
 +
\\
 +
\mathrm{Negative}
 +
\end{matrix}</math></td>
 +
<td><math>\mathrm{All} ~ u ~ \mathrm{is} ~ \texttt{(} v \texttt{)}</math></td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td><math>\mathrm{No} ~ u ~ \mathrm{is} ~ v</math></td>
 +
<td><math>\texttt{(} \ell_{11} \texttt{)}</math></td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black">
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\mathrm{A}
 +
\\
 +
\mathrm{Absolute}
 +
\end{matrix}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black">
 +
<math>\begin{matrix}
 +
\mathrm{Universal}
 +
\\
 +
\mathrm{Affirmative}
 +
\end{matrix}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>\mathrm{All} ~ u ~ \mathrm{is} ~ v</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black">&nbsp;</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>\mathrm{No} ~ u ~ \mathrm{is} ~ \texttt{(} v \texttt{)}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>\texttt{(} \ell_{10} \texttt{)}</math></td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td><math>\mathrm{All} ~ v ~ \mathrm{is} ~ u</math></td>
 +
<td><math>\mathrm{No} ~ v ~ \mathrm{is} ~ \texttt{(} u \texttt{)}</math></td>
 +
<td><math>\mathrm{No} ~ \texttt{(} u \texttt{)} ~ \mathrm{is} ~ v</math></td>
 +
<td><math>\texttt{(} \ell_{01} \texttt{)}</math></td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black">&nbsp;</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black">&nbsp;</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>\mathrm{All} ~ \texttt{(} v \texttt{)} ~ \mathrm{is} ~ u</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>\mathrm{No} ~ \texttt{(} v \texttt{)} ~ \mathrm{is} ~ \texttt{(} u \texttt{)}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>\mathrm{No} ~ \texttt{(} u \texttt{)} ~ \mathrm{is} ~ \texttt{(} v \texttt{)}</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>\texttt{(} \ell_{00} \texttt{)}</math></td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td><math>\mathrm{Some} ~ \texttt{(} u \texttt{)} ~ \mathrm{is} ~ \texttt{(} v \texttt{)}</math></td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td><math>\mathrm{Some} ~ \texttt{(} u \texttt{)} ~ \mathrm{is} ~ \texttt{(} v \texttt{)}</math></td>
 +
<td><math>\ell_{00}</math></td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black">&nbsp;</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black">&nbsp;</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>\mathrm{Some} ~ \texttt{(} u \texttt{)} ~ \mathrm{is} ~ v</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black">&nbsp;</td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>\mathrm{Some} ~ \texttt{(} u \texttt{)} ~ \mathrm{is} ~ v</math></td>
 +
<td style="border-bottom:1px solid black"><math>\ell_{01}</math></td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>\begin{matrix}
 +
\mathrm{O}
 +
\\
 +
\mathrm{Obtrusive}
 +
\end{matrix}</math></td>
 +
<td><math>\begin{matrix}
 +
\mathrm{Particular}
 +
\\
 +
\mathrm{Negative}
 +
\end{matrix}</math></td>
 +
<td><math>\mathrm{Some} ~ u ~ \mathrm{is} ~ \texttt{(} v \texttt{)}</math></td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td><math>\mathrm{Some} ~ u ~ \mathrm{is} ~ \texttt{(} v \texttt{)}</math></td>
 +
<td><math>\ell_{10}</math></td></tr>
 +
 +
<tr>
 +
<td><math>\begin{matrix}
 +
\mathrm{I}
 +
\\
 +
\mathrm{Indefinite}
 +
\end{matrix}</math></td>
 +
<td><math>\begin{matrix}
 +
\mathrm{Particular}
 +
\\
 +
\mathrm{Affirmative}
 +
\end{matrix}</math></td>
 +
<td><math>\mathrm{Some} ~ u ~ \mathrm{is} ~ v</math></td>
 +
<td>&nbsp;</td>
 +
<td><math>\mathrm{Some} ~ u ~ \mathrm{is} ~ v</math></td>
 +
<td><math>\ell_{11}</math></td></tr>
 +
 +
</table>
 +
 +
<br>
  
 
==Inquiry Driven Systems==
 
==Inquiry Driven Systems==
Line 7,458: Line 10,595:
 
|-
 
|-
 
|
 
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−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:#f8f8ff; text-align:center; width:100%"
+
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="text-align:center; width:100%"
 
|- style="background:#f0f0ff"
 
|- style="background:#f0f0ff"
 
| width="33%" | <math>\text{Object}\!</math>
 
| width="33%" | <math>\text{Object}\!</math>
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|-
 
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−
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:#f8f8ff; text-align:center; width:100%"
+
{| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="text-align:center; width:100%"
 
|- style="background:#f0f0ff"
 
|- style="background:#f0f0ff"
 
| width="33%" | <math>\text{Object}\!</math>
 
| width="33%" | <math>\text{Object}\!</math>

Latest revision as of 03:22, 26 April 2012

Cactus Language

Ascii Tables

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|      a  |  |      |
|      o--o--o      |
|       \   /       |
|        \ /        |
|         @         |
|                   |
o-------------------o

Table 13.  The Existential Interpretation
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
| Ex |   Cactus Graph    | Cactus Expression |    Existential    |
|    |                   |                   |  Interpretation   |
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
|    |                   |                   |                   |
|  1 |         @         |        " "        |       true.       |
|    |                   |                   |                   |
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
|    |                   |                   |                   |
|    |         o         |                   |                   |
|    |         |         |                   |                   |
|  2 |         @         |        ( )        |      untrue.      |
|    |                   |                   |                   |
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
|    |                   |                   |                   |
|    |         a         |                   |                   |
|  3 |         @         |         a         |         a.        |
|    |                   |                   |                   |
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
|    |                   |                   |                   |
|    |         a         |                   |                   |
|    |         o         |                   |                   |
|    |         |         |                   |                   |
|  4 |         @         |        (a)        |       not a.      |
|    |                   |                   |                   |
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
|    |                   |                   |                   |
|    |       a b c       |                   |                   |
|  5 |         @         |       a b c       |   a and b and c.  |
|    |                   |                   |                   |
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
|    |                   |                   |                   |
|    |       a b c       |                   |                   |
|    |       o o o       |                   |                   |
|    |        \|/        |                   |                   |
|    |         o         |                   |                   |
|    |         |         |                   |                   |
|  6 |         @         |    ((a)(b)(c))    |    a or b or c.   |
|    |                   |                   |                   |
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
|    |                   |                   |                   |
|    |                   |                   |    a implies b.   |
|    |         a   b     |                   |                   |
|    |         o---o     |                   |    if a then b.   |
|    |         |         |                   |                   |
|  7 |         @         |     ( a (b))      |    no a sans b.   |
|    |                   |                   |                   |
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
|    |                   |                   |                   |
|    |       a   b       |                   |                   |
|    |       o---o       |                   | a exclusive-or b. |
|    |        \ /        |                   |                   |
|  8 |         @         |     ( a , b )     | a not equal to b. |
|    |                   |                   |                   |
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
|    |                   |                   |                   |
|    |       a   b       |                   |                   |
|    |       o---o       |                   |                   |
|    |        \ /        |                   |                   |
|    |         o         |                   | a if & only if b. |
|    |         |         |                   |                   |
|  9 |         @         |    (( a , b ))    | a equates with b. |
|    |                   |                   |                   |
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
|    |                   |                   |                   |
|    |      a  b  c      |                   |                   |
|    |      o--o--o      |                   |                   |
|    |       \   /       |                   |                   |
|    |        \ /        |                   |  just one false   |
| 10 |         @         |   ( a , b , c )   |  out of a, b, c.  |
|    |                   |                   |                   |
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
|    |                   |                   |                   |
|    |      a  b  c      |                   |                   |
|    |      o  o  o      |                   |                   |
|    |      |  |  |      |                   |                   |
|    |      o--o--o      |                   |                   |
|    |       \   /       |                   |                   |
|    |        \ /        |                   |   just one true   |
| 11 |         @         |   ((a),(b),(c))   |   among a, b, c.  |
|    |                   |                   |                   |
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
|    |                   |                   |                   |
|    |                   |                   |   genus a over    |
|    |         b  c      |                   |   species b, c.   |
|    |         o  o      |                   |                   |
|    |      a  |  |      |                   |   partition a     |
|    |      o--o--o      |                   |   among b & c.    |
|    |       \   /       |                   |                   |
|    |        \ /        |                   |   whole pie a:    |
| 12 |         @         |   ( a ,(b),(c))   |   slices b, c.    |
|    |                   |                   |                   |
o----o-------------------o-------------------o-------------------o

Table 14.  The Entitative Interpretation
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
| En |   Cactus Graph    | Cactus Expression |    Entitative     |
|    |                   |                   |  Interpretation   |
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
|    |                   |                   |                   |
|  1 |         @         |        " "        |      untrue.      |
|    |                   |                   |                   |
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
|    |                   |                   |                   |
|    |         o         |                   |                   |
|    |         |         |                   |                   |
|  2 |         @         |        ( )        |       true.       |
|    |                   |                   |                   |
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
|    |                   |                   |                   |
|    |         a         |                   |                   |
|  3 |         @         |         a         |         a.        |
|    |                   |                   |                   |
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
|    |                   |                   |                   |
|    |         a         |                   |                   |
|    |         o         |                   |                   |
|    |         |         |                   |                   |
|  4 |         @         |        (a)        |       not a.      |
|    |                   |                   |                   |
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
|    |                   |                   |                   |
|    |       a b c       |                   |                   |
|  5 |         @         |       a b c       |    a or b or c.   |
|    |                   |                   |                   |
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
|    |                   |                   |                   |
|    |       a b c       |                   |                   |
|    |       o o o       |                   |                   |
|    |        \|/        |                   |                   |
|    |         o         |                   |                   |
|    |         |         |                   |                   |
|  6 |         @         |    ((a)(b)(c))    |   a and b and c.  |
|    |                   |                   |                   |
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
|    |                   |                   |                   |
|    |                   |                   |    a implies b.   |
|    |                   |                   |                   |
|    |         o a       |                   |    if a then b.   |
|    |         |         |                   |                   |
|  7 |         @ b       |      (a) b        |    not a, or b.   |
|    |                   |                   |                   |
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
|    |                   |                   |                   |
|    |       a   b       |                   |                   |
|    |       o---o       |                   | a if & only if b. |
|    |        \ /        |                   |                   |
|  8 |         @         |     ( a , b )     | a equates with b. |
|    |                   |                   |                   |
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
|    |                   |                   |                   |
|    |       a   b       |                   |                   |
|    |       o---o       |                   |                   |
|    |        \ /        |                   |                   |
|    |         o         |                   | a exclusive-or b. |
|    |         |         |                   |                   |
|  9 |         @         |    (( a , b ))    | a not equal to b. |
|    |                   |                   |                   |
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
|    |                   |                   |                   |
|    |      a  b  c      |                   |                   |
|    |      o--o--o      |                   |                   |
|    |       \   /       |                   |                   |
|    |        \ /        |                   | not just one true |
| 10 |         @         |   ( a , b , c )   | out of a, b, c.   |
|    |                   |                   |                   |
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
|    |                   |                   |                   |
|    |      a  b  c      |                   |                   |
|    |      o--o--o      |                   |                   |
|    |       \   /       |                   |                   |
|    |        \ /        |                   |                   |
|    |         o         |                   |                   |
|    |         |         |                   |   just one true   |
| 11 |         @         |  (( a , b , c ))  |   among a, b, c.  |
|    |                   |                   |                   |
o----o-------------------o-------------------o-------------------o
|    |                   |                   |                   |
|    |      a            |                   |                   |
|    |      o            |                   |   genus a over    |
|    |      |  b  c      |                   |   species b, c.   |
|    |      o--o--o      |                   |                   |
|    |       \   /       |                   |   partition a     |
|    |        \ /        |                   |   among b & c.    |
|    |         o         |                   |                   |
|    |         |         |                   |   whole pie a:    |
| 12 |         @         |  (((a), b , c ))  |   slices b, c.    |
|    |                   |                   |                   |
o----o-------------------o-------------------o-------------------o

Table 15.  Existential & Entitative Interpretations of Cactus Structures
o-----------------o-----------------o-----------------o-----------------o
|  Cactus Graph   |  Cactus String  |  Existential    |   Entitative    |
|                 |                 | Interpretation  | Interpretation  |
o-----------------o-----------------o-----------------o-----------------o
|                 |                 |                 |                 |
|        @        |       " "       |      true       |      false      |
|                 |                 |                 |                 |
o-----------------o-----------------o-----------------o-----------------o
|                 |                 |                 |                 |
|        o        |                 |                 |                 |
|        |        |                 |                 |                 |
|        @        |       ( )       |      false      |      true       |
|                 |                 |                 |                 |
o-----------------o-----------------o-----------------o-----------------o
|                 |                 |                 |                 |
|   C_1 ... C_k   |                 |                 |                 |
|        @        |   C_1 ... C_k   | C_1 & ... & C_k | C_1 v ... v C_k |
|                 |                 |                 |                 |
o-----------------o-----------------o-----------------o-----------------o
|                 |                 |                 |                 |
|  C_1 C_2   C_k  |                 |  Just one       |  Not just one   |
|   o---o-...-o   |                 |                 |                 |
|    \       /    |                 |  of the C_j,    |  of the C_j,    |
|     \     /     |                 |                 |                 |
|      \   /      |                 |  j = 1 to k,    |  j = 1 to k,    |
|       \ /       |                 |                 |                 |
|        @        | (C_1, ..., C_k) |  is not true.   |  is true.       |
|                 |                 |                 |                 |
o-----------------o-----------------o-----------------o-----------------o

Wiki TeX Tables


\(\text{Table A.}~~\text{Existential Interpretation}\)
\(\text{Cactus Graph}\!\) \(\text{Cactus Expression}\!\) \(\text{Interpretation}\!\)
Cactus Node Big Fat.jpg \({}^{\backprime\backprime}\texttt{~}{}^{\prime\prime}\) \(\operatorname{true}.\)
Cactus Spike Big Fat.jpg \(\texttt{(~)}\) \(\operatorname{false}.\)
Cactus A Big.jpg \(a\!\) \(a.\!\)
Cactus (A) Big.jpg \(\texttt{(} a \texttt{)}\)

\(\begin{matrix} \tilde{a} \'"`UNIQ-MathJax1-QINU`"' '''Generalized''' or '''n-ary''' XOR is true when the number of 1-bits is odd. '"`UNIQ--pre-0000001A-QINU`"' '"`UNIQ--pre-0000001B-QINU`"' '"`UNIQ--pre-0000001C-QINU`"' '"`UNIQ-MathJax2-QINU`"' ===='"`UNIQ--h-39--QINU`"'[[Logical implication]]==== The '''material conditional''' and '''logical implication''' are both associated with an [[logical operation|operation]] on two [[logical value]]s, typically the values of two [[proposition]]s, that produces a value of ''false'' if and only if the first operand is true and the second operand is false. The [[truth table]] associated with the material conditional '''if p then q''' (symbolized as '''p → q''') and the logical implication '''p implies q''' (symbolized as '''p ⇒ q''') is as follows: {| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:mintcream; font-weight:bold; text-align:center; width:45%" |+ '''Logical Implication''' |- style="background:aliceblue" ! style="width:15%" | p ! style="width:15%" | q ! style="width:15%" | p ⇒ q |- | F || F || T |- | F || T || T |- | T || F || F |- | T || T || T |} <br> ===='"`UNIQ--h-40--QINU`"'[[Logical NAND]]==== The '''NAND operation''' is a [[logical operation]] on two [[logical value]]s, typically the values of two [[proposition]]s, that produces a value of ''false'' if and only if both of its operands are true. In other words, it produces a value of ''true'' if and only if at least one of its operands is false. The [[truth table]] of '''p NAND q''' (also written as '''p | q''' or '''p ↑ q''') is as follows: {| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:mintcream; font-weight:bold; text-align:center; width:45%" |+ '''Logical NAND''' |- style="background:aliceblue" ! style="width:15%" | p ! style="width:15%" | q ! style="width:15%" | p ↑ q |- | F || F || T |- | F || T || T |- | T || F || T |- | T || T || F |} <br> ===='"`UNIQ--h-41--QINU`"'[[Logical NNOR]]==== The '''NNOR operation''' is a [[logical operation]] on two [[logical value]]s, typically the values of two [[proposition]]s, that produces a value of ''true'' if and only if both of its operands are false. In other words, it produces a value of ''false'' if and only if at least one of its operands is true. The [[truth table]] of '''p NNOR q''' (also written as '''p ⊥ q''' or '''p ↓ q''') is as follows: {| align="center" border="1" cellpadding="8" cellspacing="0" style="background:mintcream; font-weight:bold; text-align:center; width:45%" |+ '''Logical NOR''' |- style="background:aliceblue" ! style="width:15%" | p ! style="width:15%" | q ! style="width:15%" | p ↓ q |- | F || F || T |- | F || T || F |- | T || F || F |- | T || T || F |} <br> =='"`UNIQ--h-42--QINU`"'Relational Tables== ==='"`UNIQ--h-43--QINU`"'Factorization=== {| align="center" style="text-align:center; width:60%" | {| align="center" style="text-align:center; width:100%" | \(\text{Table 7. Plural Denotation}\!\)

|- |

\(\text{Object}\!\) \(\text{Sign}\!\) \(\text{Interpretant}\!\)

\(\begin{matrix} o_1 \\ o_2 \\ o_3 \\ \ldots \\ o_k \\ \ldots \end{matrix}\)

\(\begin{matrix} s \\ s \\ s \\ \ldots \\ s \\ \ldots \end{matrix}\)

\(\begin{matrix} \ldots \\ \ldots \\ \ldots \\ \ldots \\ \ldots \\ \ldots \end{matrix}\)

|}


\(\text{Table 8. Sign Relation}~ L\)
\(\text{Object}\!\) \(\text{Sign}\!\) \(\text{Interpretant}\!\)

\(\begin{matrix} o_1 \\ o_2 \\ o_3 \end{matrix}\)

\(\begin{matrix} s \\ s \\ s \end{matrix}\)

\(\begin{matrix} \ldots \\ \ldots \\ \ldots \end{matrix}\)

Sign Relations

  O = Object Domain
  S = Sign Domain
  I = Interpretant Domain


  O = {Ann, Bob} = {A, B}
  S = {"Ann", "Bob", "I", "You"} = {"A", "B", "i", "u"}
  I = {"Ann", "Bob", "I", "You"} = {"A", "B", "i", "u"}


LA = Sign Relation of Interpreter A
Object Sign Interpretant
A "A" "A"
A "A" "i"
A "i" "A"
A "i" "i"
B "B" "B"
B "B" "u"
B "u" "B"
B "u" "u"


LB = Sign Relation of Interpreter B
Object Sign Interpretant
A "A" "A"
A "A" "u"
A "u" "A"
A "u" "u"
B "B" "B"
B "B" "i"
B "i" "B"
B "i" "i"


Triadic Relations

Algebraic Examples

L0 = {(x, y, z) ∈ B3 : x + y + z = 0}
X Y Z
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0


L1 = {(x, y, z) ∈ B3 : x + y + z = 1}
X Y Z
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1


Semiotic Examples

LA = Sign Relation of Interpreter A
Object Sign Interpretant
A "A" "A"
A "A" "i"
A "i" "A"
A "i" "i"
B "B" "B"
B "B" "u"
B "u" "B"
B "u" "u"


LB = Sign Relation of Interpreter B
Object Sign Interpretant
A "A" "A"
A "A" "u"
A "u" "A"
A "u" "u"
B "B" "B"
B "B" "i"
B "i" "B"
B "i" "i"


Dyadic Projections

  LOS = projOS(L) = { (o, s) ∈ O × S : (o, s, i) ∈ L for some i ∈ I }
  LSO = projSO(L) = { (s, o) ∈ S × O : (o, s, i) ∈ L for some i ∈ I }
  LIS = projIS(L) = { (i, s) ∈ I × S : (o, s, i) ∈ L for some o ∈ O }
  LSI = projSI(L) = { (s, i) ∈ S × I : (o, s, i) ∈ L for some o ∈ O }
  LOI = projOI(L) = { (o, i) ∈ O × I : (o, s, i) ∈ L for some s ∈ S }
  LIO = projIO(L) = { (i, o) ∈ I × O : (o, s, i) ∈ L for some s ∈ S }


Method 1 : Subtitles as Captions

projOS(LA)
Object Sign
A "A"
A "i"
B "B"
B "u"
projOS(LB)
Object Sign
A "A"
A "u"
B "B"
B "i"


projSI(LA)
Sign Interpretant
"A" "A"
"A" "i"
"i" "A"
"i" "i"
"B" "B"
"B" "u"
"u" "B"
"u" "u"
projSI(LB)
Sign Interpretant
"A" "A"
"A" "u"
"u" "A"
"u" "u"
"B" "B"
"B" "i"
"i" "B"
"i" "i"


projOI(LA)
Object Interpretant
A "A"
A "i"
B "B"
B "u"
projOI(LB)
Object Interpretant
A "A"
A "u"
B "B"
B "i"


Method 2 : Subtitles as Top Rows

projOS(LA)
Object Sign
A "A"
A "i"
B "B"
B "u"
projOS(LB)
Object Sign
A "A"
A "u"
B "B"
B "i"


projSI(LA)
Sign Interpretant
"A" "A"
"A" "i"
"i" "A"
"i" "i"
"B" "B"
"B" "u"
"u" "B"
"u" "u"
projSI(LB)
Sign Interpretant
"A" "A"
"A" "u"
"u" "A"
"u" "u"
"B" "B"
"B" "i"
"i" "B"
"i" "i"


projOI(LA)
Object Interpretant
A "A"
A "i"
B "B"
B "u"
projOI(LB)
Object Interpretant
A "A"
A "u"
B "B"
B "i"


Relation Reduction

Method 1 : Subtitles as Captions

L0 = {(x, y, z) ∈ B3 : x + y + z = 0}
X Y Z
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0


L1 = {(x, y, z) ∈ B3 : x + y + z = 1}
X Y Z
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1


projXY(L0)
X Y
0 0
0 1
1 0
1 1
projXZ(L0)
X Z
0 0
0 1
1 1
1 0
projYZ(L0)
Y Z
0 0
1 1
0 1
1 0


projXY(L1)
X Y
0 0
0 1
1 0
1 1
projXZ(L1)
X Z
0 1
0 0
1 0
1 1
projYZ(L1)
Y Z
0 1
1 0
0 0
1 1


projXY(L0) = projXY(L1) projXZ(L0) = projXZ(L1) projYZ(L0) = projYZ(L1)


LA = Sign Relation of Interpreter A
Object Sign Interpretant
A "A" "A"
A "A" "i"
A "i" "A"
A "i" "i"
B "B" "B"
B "B" "u"
B "u" "B"
B "u" "u"


LB = Sign Relation of Interpreter B
Object Sign Interpretant
A "A" "A"
A "A" "u"
A "u" "A"
A "u" "u"
B "B" "B"
B "B" "i"
B "i" "B"
B "i" "i"


projXY(LA)
Object Sign
A "A"
A "i"
B "B"
B "u"
projXZ(LA)
Object Interpretant
A "A"
A "i"
B "B"
B "u"
projYZ(LA)
Sign Interpretant
"A" "A"
"A" "i"
"i" "A"
"i" "i"
"B" "B"
"B" "u"
"u" "B"
"u" "u"


projXY(LB)
Object Sign
A "A"
A "u"
B "B"
B "i"
projXZ(LB)
Object Interpretant
A "A"
A "u"
B "B"
B "i"
projYZ(LB)
Sign Interpretant
"A" "A"
"A" "u"
"u" "A"
"u" "u"
"B" "B"
"B" "i"
"i" "B"
"i" "i"


projXY(LA) ≠ projXY(LB) projXZ(LA) ≠ projXZ(LB) projYZ(LA) ≠ projYZ(LB)


Method 2 : Subtitles as Top Rows

L0 = {(x, y, z) ∈ B3 : x + y + z = 0}
X Y Z
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0


L1 = {(x, y, z) ∈ B3 : x + y + z = 1}
X Y Z
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1


projXY(L0)
X Y
0 0
0 1
1 0
1 1
projXZ(L0)
X Z
0 0
0 1
1 1
1 0
projYZ(L0)
Y Z
0 0
1 1
0 1
1 0


projXY(L1)
X Y
0 0
0 1
1 0
1 1
projXZ(L1)
X Z
0 1
0 0
1 0
1 1
projYZ(L1)
Y Z
0 1
1 0
0 0
1 1


projXY(L0) = projXY(L1) projXZ(L0) = projXZ(L1) projYZ(L0) = projYZ(L1)


LA = Sign Relation of Interpreter A
Object Sign Interpretant
A "A" "A"
A "A" "i"
A "i" "A"
A "i" "i"
B "B" "B"
B "B" "u"
B "u" "B"
B "u" "u"


LB = Sign Relation of Interpreter B
Object Sign Interpretant
A "A" "A"
A "A" "u"
A "u" "A"
A "u" "u"
B "B" "B"
B "B" "i"
B "i" "B"
B "i" "i"


projXY(LA)
Object Sign
A "A"
A "i"
B "B"
B "u"
projXZ(LA)
Object Interpretant
A "A"
A "i"
B "B"
B "u"
projYZ(LA)
Sign Interpretant
"A" "A"
"A" "i"
"i" "A"
"i" "i"
"B" "B"
"B" "u"
"u" "B"
"u" "u"


projXY(LB)
Object Sign
A "A"
A "u"
B "B"
B "i"
projXZ(LB)
Object Interpretant
A "A"
A "u"
B "B"
B "i"
projYZ(LB)
Sign Interpretant
"A" "A"
"A" "u"
"u" "A"
"u" "u"
"B" "B"
"B" "i"
"i" "B"
"i" "i"


projXY(LA) ≠ projXY(LB) projXZ(LA) ≠ projXZ(LB) projYZ(LA) ≠ projYZ(LB)


Formatted Text Display

So in a triadic fact, say, the example
A gives B to C
we make no distinction in the ordinary logic of relations between the subject nominative, the direct object, and the indirect object. We say that the proposition has three logical subjects. We regard it as a mere affair of English grammar that there are six ways of expressing this:
A gives B to C A benefits C with B
B enriches C at expense of A C receives B from A
C thanks A for B B leaves A for C
These six sentences express one and the same indivisible phenomenon. (C.S. Peirce, "The Categories Defended", MS 308 (1903), EP 2, 170-171).

Work Area

Binary Operations
x0 x1 2f0 2f1 2f2 2f3 2f4 2f5 2f6 2f7 2f8 2f9 2f10 2f11 2f12 2f13 2f14 2f15
0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1


Draft 1

TRUTH TABLES FOR THE BOOLEAN OPERATIONS OF ARITY UP TO 2
Constants
0f0 0f1
0 1
    
Unary Operations
x0 1f0 1f1 1f2 1f3
0 0 1 0 1
1 0 0 1 1
    
Binary Operations
x0 x1 2f0 2f1 2f2 2f3 2f4 2f5 2f6 2f7 2f8 2f9 2f10 2f11 2f12 2f13 2f14 2f15
0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

Draft 2

TRUTH TABLES FOR THE BOOLEAN OPERATIONS OF ARITY UP TO 2
Constants
0f0 0f1
0 1
    
Unary Operations
x0 1f0 1f1 1f2 1f3
0 0 1 0 1
1 0 0 1 1
    
Binary Operations
x0 x1 2f0 2f1 2f2 2f3 2f4 2f5 2f6 2f7 2f8 2f9 2f10 2f11 2f12 2f13 2f14 2f15
0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

Inquiry and Analogy

Test Patterns

1 0 1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1 0 1


1 0 1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1 0 1


1 0 1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1 0 1


Table 10

Table 10. Higher Order Propositions (n = 1)
\(x\): 1 0 \(f\) \(m_0\) \(m_1\) \(m_2\) \(m_3\) \(m_4\) \(m_5\) \(m_6\) \(m_7\) \(m_8\) \(m_9\) \(m_{10}\) \(m_{11}\) \(m_{12}\) \(m_{13}\) \(m_{14}\) \(m_{15}\)
\(f_0\) 0 0 \(0\!\) 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
\(f_1\) 0 1 \((x)\!\) 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
\(f_2\) 1 0 \(x\!\) 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
\(f_3\) 1 1 \(1\!\) 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1


Table 10. Higher Order Propositions (n = 1)
\(x:\) 1 0 \(f\!\) \(m_0\) \(m_1\) \(m_2\) \(m_3\) \(m_4\) \(m_5\) \(m_6\) \(m_7\) \(m_8\) \(m_9\) \(m_{10}\) \(m_{11}\) \(m_{12}\) \(m_{13}\) \(m_{14}\) \(m_{15}\)
\(f_0\) 0 0 \(0\!\) 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
\(f_1\) 0 1 \((x)\!\) 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
\(f_2\) 1 0 \(x\!\) 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
\(f_3\) 1 1 \(1\!\) 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1


Table 11

Table 11. Interpretive Categories for Higher Order Propositions (n = 1)
Measure Happening Exactness Existence Linearity Uniformity Information
\(m_0\!\) Nothing happens          
\(m_1\!\)   Just false Nothing exists      
\(m_2\!\)   Just not \(x\!\)        
\(m_3\!\)     Nothing is \(x\!\)      
\(m_4\!\)   Just \(x\!\)        
\(m_5\!\)     Everything is \(x\!\) \(f\!\) is linear    
\(m_6\!\)         \(f\!\) is not uniform \(f\!\) is informed
\(m_7\!\)   Not just true        
\(m_8\!\)   Just true        
\(m_9\!\)         \(f\!\) is uniform \(f\!\) is not informed
\(m_{10}\!\)     Something is not \(x\!\) \(f\!\) is not linear    
\(m_{11}\!\)   Not just \(x\!\)        
\(m_{12}\!\)     Something is \(x\!\)      
\(m_{13}\!\)   Not just not \(x\!\)        
\(m_{14}\!\)   Not just false Something exists      
\(m_{15}\!\) Anything happens          


Table 12

Table 12. Higher Order Propositions (n = 2)
\(x:\)
\(y:\) 		1100
1010 		\(f\!\) \(m_0\) \(m_1\) \(m_2\) \(m_3\) \(m_4\) \(m_5\) \(m_6\) \(m_7\) \(m_8\) \(m_9\) \(m_{10}\) \(m_{11}\) \(m_{12}\) \(m_{13}\) \(m_{14}\) \(m_{15}\) \(m_{16}\) \(m_{17}\) \(m_{18}\) \(m_{19}\) \(m_{20}\) \(m_{21}\) \(m_{22}\) \(m_{23}\)
\(f_0\) 0000 \((~)\) 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
\(f_1\) 0001 \((x)(y)\!\)     1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
\(f_2\) 0010 \((x) y\!\)         1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
\(f_3\) 0011 \((x)\!\)                 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
\(f_4\) 0100 \(x (y)\!\)                                 1 1 1 1 1 1 1 1
\(f_5\) 0101 \((y)\!\)                                                
\(f_6\) 0110 \((x, y)\!\)                                                
\(f_7\) 0111 \((x y)\!\)                                                
\(f_8\) 1000 \(x y\!\)                                                
\(f_9\) 1001 \(((x, y))\!\)                                                
\(f_{10}\) 1010 \(y\!\)                                                
\(f_{11}\) 1011 \((x (y))\!\)                                                
\(f_{12}\) 1100 \(x\!\)                                                
\(f_{13}\) 1101 \(((x) y)\!\)                                                
\(f_{14}\) 1110 \(((x)(y))\!\)                                                
\(f_{15}\) 1111 \(((~))\!\)                                                


Table 12. Higher Order Propositions (n = 2)
\(u:\)
\(v:\) 		1100
1010 		\(f\!\) \(m_0\) \(m_1\) \(m_2\) \(m_3\) \(m_4\) \(m_5\) \(m_6\) \(m_7\) \(m_8\) \(m_9\) \(m_{10}\) \(m_{11}\) \(m_{12}\) \(m_{13}\) \(m_{14}\) \(m_{15}\) \(m_{16}\) \(m_{17}\) \(m_{18}\) \(m_{19}\) \(m_{20}\) \(m_{21}\) \(m_{22}\) \(m_{23}\)
\(f_0\) 0000 \((~)\) 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
\(f_1\) 0001 \((u)(v)\!\) 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
\(f_2\) 0010 \((u) v\!\) 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
\(f_3\) 0011 \((u)\!\) 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
\(f_4\) 0100 \(u (v)\!\) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
\(f_5\) 0101 \((v)\!\) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
\(f_6\) 0110 \((u, v)\!\) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
\(f_7\) 0111 \((u v)\!\) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
\(f_8\) 1000 \(u v\!\) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
\(f_9\) 1001 \(((u, v))\!\) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
\(f_{10}\) 1010 \(v\!\) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
\(f_{11}\) 1011 \((u (v))\!\) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
\(f_{12}\) 1100 \(u\!\) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
\(f_{13}\) 1101 \(((u) v)\!\) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
\(f_{14}\) 1110 \(((u)(v))\!\) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
\(f_{15}\) 1111 \(((~))\!\) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0


Table 13

Table 13. Qualifiers of Implication Ordering:  \(\alpha_i f = \Upsilon (f_i, f) = \Upsilon (f_i \Rightarrow f)\)
\(u:\)
\(v:\) 		1100
1010 		\(f\!\) \(\alpha_0\) \(\alpha_1\) \(\alpha_2\) \(\alpha_3\) \(\alpha_4\) \(\alpha_5\) \(\alpha_6\) \(\alpha_7\) \(\alpha_8\) \(\alpha_9\) \(\alpha_{10}\) \(\alpha_{11}\) \(\alpha_{12}\) \(\alpha_{13}\) \(\alpha_{14}\) \(\alpha_{15}\)
\(f_0\) 0000 \((~)\) 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
\(f_1\) 0001 \((u)(v)\!\) 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
\(f_2\) 0010 \((u) v\!\) 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
\(f_3\) 0011 \((u)\!\) 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
\(f_4\) 0100 \(u (v)\!\) 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
\(f_5\) 0101 \((v)\!\) 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
\(f_6\) 0110 \((u, v)\!\) 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
\(f_7\) 0111 \((u v)\!\) 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
\(f_8\) 1000 \(u v\!\) 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
\(f_9\) 1001 \(((u, v))\!\) 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0
\(f_{10}\) 1010 \(v\!\) 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0
\(f_{11}\) 1011 \((u (v))\!\) 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0
\(f_{12}\) 1100 \(u\!\) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
\(f_{13}\) 1101 \(((u) v)\!\) 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0
\(f_{14}\) 1110 \(((u)(v))\!\) 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
\(f_{15}\) 1111 \(((~))\) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1


Table 14

Table 14. Qualifiers of Implication Ordering:  \(\beta_i f = \Upsilon (f, f_i) = \Upsilon (f \Rightarrow f_i)\)
\(u:\)
\(v:\) 		1100
1010 		\(f\!\) \(\beta_0\) \(\beta_1\) \(\beta_2\) \(\beta_3\) \(\beta_4\) \(\beta_5\) \(\beta_6\) \(\beta_7\) \(\beta_8\) \(\beta_9\) \(\beta_{10}\) \(\beta_{11}\) \(\beta_{12}\) \(\beta_{13}\) \(\beta_{14}\) \(\beta_{15}\)
\(f_0\) 0000 \((~)\) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
\(f_1\) 0001 \((u)(v)\!\) 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
\(f_2\) 0010 \((u) v\!\) 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
\(f_3\) 0011 \((u)\!\) 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
\(f_4\) 0100 \(u (v)\!\) 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
\(f_5\) 0101 \((v)\!\) 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1
\(f_6\) 0110 \((u, v)\!\) 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1
\(f_7\) 0111 \((u v)\!\) 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1
\(f_8\) 1000 \(u v\!\) 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
\(f_9\) 1001 \(((u, v))\!\) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1
\(f_{10}\) 1010 \(v\!\) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1
\(f_{11}\) 1011 \((u (v))\!\) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1
\(f_{12}\) 1100 \(u\!\) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1
\(f_{13}\) 1101 \(((u) v)\!\) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1
\(f_{14}\) 1110 \(((u)(v))\!\) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
\(f_{15}\) 1111 \(((~))\!\) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1


Figure 15

Table 16

Table 16. Syllogistic Premisses as Higher Order Indicator Functions

\(\begin{array}{clcl} \mathrm{A} & \mathrm{Universal~Affirmative} & \mathrm{All}\ u\ \mathrm{is}\ v & \mathrm{Indicator~of}\ u (v) = 0 \\ \mathrm{E} & \mathrm{Universal~Negative} & \mathrm{All}\ u\ \mathrm{is}\ (v) & \mathrm{Indicator~of}\ u \cdot v = 0 \\ \mathrm{I} & \mathrm{Particular~Affirmative} & \mathrm{Some}\ u\ \mathrm{is}\ v & \mathrm{Indicator~of}\ u \cdot v = 1 \\ \mathrm{O} & \mathrm{Particular~Negative} & \mathrm{Some}\ u\ \mathrm{is}\ (v) & \mathrm{Indicator~of}\ u (v) = 1 \\ \end{array}\)


Table 17

Table 17. Simple Qualifiers of Propositions (Version 1)
\(u:\)
\(v:\) 		1100
1010 		\(f\!\) \((\ell_{11})\)
\(\text{No } u \)
\(\text{is } v \) 		\((\ell_{10})\)
\(\text{No } u \)
\(\text{is }(v)\) 		\((\ell_{01})\)
\(\text{No }(u)\)
\(\text{is } v \) 		\((\ell_{00})\)
\(\text{No }(u)\)
\(\text{is }(v)\) 		\( \ell_{00} \)
\(\text{Some }(u)\)
\(\text{is }(v)\) 		\( \ell_{01} \)
\(\text{Some }(u)\)
\(\text{is } v \) 		\( \ell_{10} \)
\(\text{Some } u \)
\(\text{is }(v)\) 		\( \ell_{11} \)
\(\text{Some } u \)
\(\text{is } v \)
\(f_0\) 0000 \((~)\) 1 1 1 1 0 0 0 0
\(f_1\) 0001 \((u)(v)\!\) 1 1 1 0 1 0 0 0
\(f_2\) 0010 \((u) v\!\) 1 1 0 1 0 1 0 0
\(f_3\) 0011 \((u)\!\) 1 1 0 0 1 1 0 0
\(f_4\) 0100 \(u (v)\!\) 1 0 1 1 0 0 1 0
\(f_5\) 0101 \((v)\!\) 1 0 1 0 1 0 1 0
\(f_6\) 0110 \((u, v)\!\) 1 0 0 1 0 1 1 0
\(f_7\) 0111 \((u v)\!\) 1 0 0 0 1 1 1 0
\(f_8\) 1000 \(u v\!\) 0 1 1 1 0 0 0 1
\(f_9\) 1001 \(((u, v))\!\) 0 1 1 0 1 0 0 1
\(f_{10}\) 1010 \(v\!\) 0 1 0 1 0 1 0 1
\(f_{11}\) 1011 \((u (v))\!\) 0 1 0 0 1 1 0 1
\(f_{12}\) 1100 \(u\!\) 0 0 1 1 0 0 1 1
\(f_{13}\) 1101 \(((u) v)\!\) 0 0 1 0 1 0 1 1
\(f_{14}\) 1110 \(((u)(v))\!\) 0 0 0 1 0 1 1 1
\(f_{15}\) 1111 \(((~))\) 0 0 0 0 1 1 1 1


Table 18

Table 18. Simple Qualifiers of Propositions (Version 2)
\(u:\)
\(v:\) 		1100
1010 		\(f\!\) \((\ell_{11})\)
\(\text{No } u \)
\(\text{is } v \) 		\((\ell_{10})\)
\(\text{No } u \)
\(\text{is }(v)\) 		\((\ell_{01})\)
\(\text{No }(u)\)
\(\text{is } v \) 		\((\ell_{00})\)
\(\text{No }(u)\)
\(\text{is }(v)\) 		\( \ell_{00} \)
\(\text{Some }(u)\)
\(\text{is }(v)\) 		\( \ell_{01} \)
\(\text{Some }(u)\)
\(\text{is } v \) 		\( \ell_{10} \)
\(\text{Some } u \)
\(\text{is }(v)\) 		\( \ell_{11} \)
\(\text{Some } u \)
\(\text{is } v \)
\(f_0\) 0000 \((~)\) 1 1 1 1 0 0 0 0
\(f_1\) 0001 \((u)(v)\!\) 1 1 1 0 1 0 0 0
\(f_2\) 0010 \((u) v\!\) 1 1 0 1 0 1 0 0
\(f_4\) 0100 \(u (v)\!\) 1 0 1 1 0 0 1 0
\(f_8\) 1000 \(u v\!\) 0 1 1 1 0 0 0 1
\(f_3\) 0011 \((u)\!\) 1 1 0 0 1 1 0 0
\(f_{12}\) 1100 \(u\!\) 0 0 1 1 0 0 1 1
\(f_6\) 0110 \((u, v)\!\) 1 0 0 1 0 1 1 0
\(f_9\) 1001 \(((u, v))\!\) 0 1 1 0 1 0 0 1
\(f_5\) 0101 \((v)\!\) 1 0 1 0 1 0 1 0
\(f_{10}\) 1010 \(v\!\) 0 1 0 1 0 1 0 1
\(f_7\) 0111 \((u v)\!\) 1 0 0 0 1 1 1 0
\(f_{11}\) 1011 \((u (v))\!\) 0 1 0 0 1 1 0 1
\(f_{13}\) 1101 \(((u) v)\!\) 0 0 1 0 1 0 1 1
\(f_{14}\) 1110 \(((u)(v))\!\) 0 0 0 1 0 1 1 1
\(f_{15}\) 1111 \(((~))\) 0 0 0 0 1 1 1 1


Table 19

Table 19. Relation of Quantifiers to Higher Order Propositions
\(\text{Mnemonic}\) \(\text{Category}\) \(\text{Classical Form}\) \(\text{Alternate Form}\) \(\text{Symmetric Form}\) \(\text{Operator}\)
\(\text{E}\!\)
\(\text{Exclusive}\) 		\(\text{Universal}\)
\(\text{Negative}\) 		\(\text{All}\ u\ \text{is}\ (v)\)   \(\text{No}\ u\ \text{is}\ v \) \((\ell_{11})\)
\(\text{A}\!\)
\(\text{Absolute}\) 		\(\text{Universal}\)
\(\text{Affirmative}\) 		\(\text{All}\ u\ \text{is}\ v \)   \(\text{No}\ u\ \text{is}\ (v)\) \((\ell_{10})\)
    \(\text{All}\ v\ \text{is}\ u \) \(\text{No}\ v\ \text{is}\ (u)\) \(\text{No}\ (u)\ \text{is}\ v \) \((\ell_{01})\)
    \(\text{All}\ (v)\ \text{is}\ u \) \(\text{No}\ (v)\ \text{is}\ (u)\) \(\text{No}\ (u)\ \text{is}\ (v)\) \((\ell_{00})\)
    \(\text{Some}\ (u)\ \text{is}\ (v)\)   \(\text{Some}\ (u)\ \text{is}\ (v)\) \(\ell_{00}\!\)
    \(\text{Some}\ (u)\ \text{is}\ v\)   \(\text{Some}\ (u)\ \text{is}\ v\) \(\ell_{01}\!\)
\(\text{O}\!\)
\(\text{Obtrusive}\) 		\(\text{Particular}\)
\(\text{Negative}\) 		\(\text{Some}\ u\ \text{is}\ (v)\)   \(\text{Some}\ u\ \text{is}\ (v)\) \(\ell_{10}\!\)
\(\text{I}\!\)
\(\text{Indefinite}\) 		\(\text{Particular}\)
\(\text{Affirmative}\) 		\(\text{Some}\ u\ \text{is}\ v\)   \(\text{Some}\ u\ \text{is}\ v\) \(\ell_{11}\!\)


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